高等数学云教材

四、初等函数

基本初等函数

现将在中学里已经学习过的几种函数汇列于下：

• 常数函数：\(f(x) = c\)（\(c\)为常数）
• 幂函数：\(f(x) = x^n\)（\(n\)为常数）
• 指数函数：\(f(x) = a^x\)
• 对数函数：\(f(x) = \log_a x\)
• 三角函数：\(f(x) = \sin x, \cos x, \tan x\)都是周期函数，并且其中\(\sin x, \tan x\)都是奇函数，而\(\cos x\)是偶函数。
• 反三角函数：\(f(x) = \arcsin x, \arccos x, \arctan x\)

以上几类函数是研究函数的基础，称为基本初等函数。

初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所得到的并且能用一个式子表示的函数称为初等函数。

双曲函数

在工程技术中常用到一类被称为双曲函数的初等函数，它们定义如下：

• 双曲正弦：\(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\)，定义域为\(\mathbb{R}\)，值域为\(\mathbb{R}\)
• 双曲余弦：\(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)，定义域为\(\mathbb{R}\)，值域为\([1, +\infty)\)
• 双曲正切：\(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}\)，定义域为\(\mathbb{R}\)，值域为\((-1, 1)\)

练习题 1

计算 \(\tanh(0)\)。