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第2节 数列的极限
极限的思想是近代数学的一种重要思想，是探究某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子·天下篇》一书中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想。
关键词：数列极限的定义、数列极限的唯一性、有界性、保号性
极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数求和等都建立在极限的基础上。
一 数列极限的概念
引例 “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
这样剩下棒子的长度就成了一个数列，其通项为
\[ a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n. \]容易看出，当 \( n \) 无限增大，棒长无限接近于一个确定的常数零。我们把这个确定的常数零，称为数列当 \( n \) 趋向于无穷时的极限。
一般地，如果“随着 \( n \) 的无限增大，通项 \( a_n \) 无限地接近某一常数 \( A \) ”，则称常数 \( A \) 为数列的极限。
如何准确地刻划极限的概念呢？我们知道数与数的接近程度可以通过这两个数差的绝对值来刻画。这就是说，当 \( n \) 充分大时，数列的通项 \( a_n \) 与常数 \( A \) 之差的绝对值可以任意的小。任意小性是无法用一个具体的很小很小的数来刻画的。为此，引入希腊字母 \( \epsilon \) 来刻画任一小的正数。
定义1（定义）
设 \(\{ a_n \}\) 为一数列，如果存在常数 \( A \)，对于任意给定的正数 \( \epsilon \)，总存在正整数 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，有
\[ |a_n - A| < \epsilon, \]则称常数 \( A \) 为数列 \(\{ a_n \}\) 的极限，或称数列 \(\{ a_n \}\) 收敛于 \( A \)，记作
\[ \lim_{{n \to \infty}} a_n = A, \]或
\[ a_n \to A \quad (n \to \infty). \]否则称数列 \(\{ a_n \}\) 没有极限，或者说数列 \(\{ a_n \}\) 是发散的。
这里引入两个常用的数学符号：“\( \forall \)” 表示任意的；“\( \exists \)” 表示存在。由此，
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon. \]例1 证明 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\)
证明：任给 \(\epsilon > 0\)，为了使 \( | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon \)，即
\[ \frac{1}{n} < \epsilon, \]所以存在正整数 \( N \)，当 \( n > N \) 时，有
\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]因此，
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon. \]即
\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0. \]例2 证明 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1\)
查看解答
证明：任给 \(\epsilon > 0\)，为了使 \( | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon \)，即
\[ \left| 1 + \frac{1}{n} - 1 \right| < \epsilon, \]即
\[ \frac{1}{n} < \epsilon. \]所以存在正整数 \( N \)，当 \( n > N \) 时，有
\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]因此，
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon. \]即
\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1. \]例3 证明 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2\)
查看解答
证明：\(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon \)，
即
\[ \left| 2 + \frac{1}{n} - 2 \right| < \epsilon, \]即
\[ \frac{1}{n} < \epsilon. \]存在正整数 \( N \)，当 \( n > N \) 时，有
\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]所以
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon. \]即
\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2. \]练习题
证明 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3\)
Hint:
将分子和分母同时除以 \( n \)，然后取极限。
Answer:
\(\lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3\)
Solution:
证明：任给 \(\epsilon > 0\)，为了使 \( \left| \frac{3n+2}{n} - 3 \right| < \epsilon \)，即
\[ \left| 3 + \frac{2}{n} - 3 \right| < \epsilon, \]即
\[ \frac{2}{n} < \epsilon. \]所以存在正整数 \( N \)，当 \( n > N \) 时，有
\[ n > \frac{2}{\epsilon}. \]因此，
\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{2}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{3n+2}{n} - 3 \right| < \epsilon. \]即
\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3. \]二 收敛数列的性质
定理1 （极限的唯一性）
收敛数列的极限是唯一的。
证明（用反证法）
设 \(\{ a_n \}\) 收敛于 \(A\)，且收敛于 \(B\)，不妨设 \(A < B\)。取
\[ \epsilon = \frac{B - A}{2}. \]由于 \(\{ a_n \}\) 收敛于 \(A\)，存在正整数 \(N_1\)，当 \(n > N_1\) 时，有
\[ |a_n - A| < \epsilon, \]即
\[ A - \epsilon < a_n < A + \epsilon, \]即
\[ A - \frac{B - A}{2} < a_n < A + \frac{B - A}{2}, \]即
\[ A < a_n < \frac{A + B}{2}. \]由于 \(\{ a_n \}\) 收敛于 \(B\)，存在正整数 \(N_2\)，当 \(n > N_2\) 时，有
\[ |a_n - B| < \epsilon, \]即
\[ B - \epsilon < a_n < B + \epsilon, \]即
\[ B - \frac{B - A}{2} < a_n < B + \frac{B - A}{2}, \]即
\[ \frac{A + B}{2} < a_n < B. \]取 \(N = \max(N_1, N_2)\)，当 \(n > N\) 时，有
\[ A < a_n < \frac{A + B}{2} < a_n < B. \]矛盾，所以
\[ A = B. \]定理2（有界性）
收敛数列必定有界。
证明
设 \(\{ a_n \}\) 收敛于 \(A\)，则对 \(\epsilon = 1\)，存在正整数 \(N\)，当 \(n > N\) 时，有
\[ |a_n - A| < 1, \]即
\[ A - 1 < a_n < A + 1. \]取 \(M = \max \{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_N|, |A - 1|, |A + 1|\}\)，则对于一切 \(n \in \mathbb{N}\)，都有
\[ |a_n| \leq M. \]故收敛数列有界。
反之未必：有界数列不一定收敛。
推论 若数列无界，则必发散。
定理3（保号性）
若数列 \(\{ a_n \}\) 收敛于 \(A\)，且 \(A \ne 0\)，则存在正整数 \(N\)，当 \(n > N\) 时，\(a_n\) 与 \(A\) 同号。
证明
不妨设 \(A > 0\)，由 \(\{ a_n \}\) 收敛于 \(A\)，按照定义
\[ \forall \epsilon = \frac{A}{2}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon, \]即
\[ -\frac{A}{2} < a_n - A < \frac{A}{2}, \]即
\[ A - \frac{A}{2} < a_n < A + \frac{A}{2}, \]即
\[ \frac{A}{2} < a_n < \frac{3A}{2}. \]即当 \(n > N\) 时，\(a_n\) 与 \(A\) 同号。
推论
若数列 \(\{ a_n \}\) 从某项起有 \(a_n > 0\)（或 \(a_n < 0\)），且 \(\lim_{{n \to \infty}} a_n = A\)，那么 \(A \geq 0\)（或 \(A \leq 0\）。
三、函数极限的定义
数列是定义在正整数集合上的函数。数列的极限可以看作函数当自变量 \(x \to +\infty\) 时的极限。若将数列极限概念中自变量和函数值的特殊性撇开，可以引出函数极限的概念。
一 自变量趋于无穷大时函数的极限
观察函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\)，从图像上可见：当自变量 \(x \to +\infty\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 无限地接近于0。
定义1
设 \(y = f(x)\) 为定义在 \((a, +\infty)\) 上的函数，\(A\) 是一个常数，如果对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，存在正数 \(M\)，使得当 \(x > M\) 时，恒有
\[ |f(x) - A| < \epsilon, \]则称 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x \to +\infty\) 时的极限，记作
\[ \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = A, \]或
\[ f(x) \to A \quad (x \to +\infty). \]从图像上可见，函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 当自变量 \(x \to +\infty\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 也无限地接近于0。类似于定义1，可定义 \(x \to -\infty\) 时函数的极限。
定义2
函数 \(y = f(x)\) 在 \((- \infty, b)\) 内有定义（\(A\) 为常数），若任给 \(\epsilon > 0\)，存在正数 \(M\)，当 \(x < -M\) 时，恒有
\[ |f(x) - A| < \epsilon, \]则称常数 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 当 \(x \to -\infty\) 时的极限，记作
\[ \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = A, \]或
\[ f(x) \to A \quad (x \to -\infty). \]综上，对于函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\)，从图像上可见，当 \(x \to +\infty\) 或 \(x \to -\infty\) 时，函数值 \(f(x)\) 无限地接近于0。综合定义1和定义2，那么，如何反映函数自变量 \(x\) 朝左右两个方向同时变化时函数 \(f(x)\) 的变化趋势呢？即如何定义 \(x \to a\) 时的极限。
定义3
函数 \(y = f(x)\) 在 \((a - \delta, a + \delta)\) 内有定义，若任给 \(\epsilon > 0\)，存在正数 \(\delta\)，当 \(0 < |x - a| < \delta\) 时，恒有
\[ |f(x) - A| < \epsilon, \]则称常数 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 当 \(x \to a\) 时的极限，记作
\[ \lim_{{x \to a}} f(x) = A, \]或
\[ f(x) \to A \quad (x \to a). \]例1 证明 \(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0\)
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证明：任给 \(\epsilon > 0\)，取 \(M = \frac{1}{\epsilon}\)，当 \(x > M\) 时，有
\[ \left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon. \]所以
\[ \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0. \]练习题
证明 \(\lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0\)
Hint:
类似于 \(x \to +\infty\) 时的证明，取适当的 \(M\)。
Answer:
\(\lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0\)
Solution:
证明：任给 \(\epsilon > 0\)，取 \(M = \frac{1}{\epsilon}\)，当 \(x < -M\) 时，有
\[ \left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon. \]所以
\[ \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0. \]例2 证明 \(\lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0\)
查看解答
证明：任给 \(\epsilon > 0\)，取 \(M = \frac{1}{\epsilon}\)，当 \(x < -M\) 时，有
\[ \left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon. \]所以
\[ \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0. \]例3 讨论 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\)
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解：设 \(y = \frac{\sin x}{x}\)，显然 \(y\) 在 \(x = 0\) 点处没有定义，但在 \(x \ne 0\) 的点处有定义，并且有
\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1. \]由极限的定义，容易得到下面的定理：
定理1
极限存在的充分必要条件是
\[ \lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x) = A, \]即
\[ \lim_{{x \to a}} f(x) = A. \]例4 讨论 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x}\) 是否存在
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解：容易证明：
\[ \lim_{{x \to 0^-}} \frac{1}{x} = -\infty, \] \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x} = +\infty. \]由定理1可得 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x}\) 不存在。
例5 讨论 \(\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{(x-1)^2}\) 是否存在
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解：容易证明：
\[ \lim_{{x \to 1^-}} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty, \] \[ \lim_{{x \to 1^+}} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty. \]由定理1可得 \(\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty。
例6 讨论 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x^2}\) 是否存在
查看解答
解：容易证明：
\[ \lim_{{x \to 0^-}} \frac{1}{x^2} = +\infty, \] \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x^2} = +\infty。 \]由定理1可得 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x^2} = +\infty。
练习题
讨论 \(\lim_{{x \to 2}} \frac{1}{(x-2)^2}\) 是否存在。
Hint:
类似于 \(\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{(x-1)^2}\) 的讨论，考虑左右极限。
Answer:
\(\lim_{{x \to 2}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty\)
Solution:
解：容易证明：
\[ \lim_{{x \to 2^-}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty, \] \[ \lim_{{x \to 2^+}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty. \]由定理1可得 \(\lim_{{x \to 2}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty。