数列极限

1. 数列极限概念

🧑‍💻数列极限的定义及讲解

数列极限的概念

一个数列的极限是指，当数列的项数 \(n\) 越来越大时，数列的值逐渐接近一个确定的数值。这个确定的数值被称为数列的极限。如果这样的极限存在，我们称数列收敛于这个极限，否则称数列发散。
🖥️例子：
假设有一个数列，其通项公式为： \[ a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \] 随着 \(n\) 的增大，数列的项越来越小，并趋向于0。我们称0为该数列的极限，记作： \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 \]

♻️数列极限的定义（ε-N定义）

对于数列 \(\{x_n\}\)，如果存在一个常数 \(a\)，并且对于任意给定的正数 \(\epsilon > 0\)，都存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，总有： \[ |x_n - a| < \epsilon \] 则称常数 \(a\) 为数列的极限，
记作： \[ \lim_{n \to \infty} x_n = a \] 如果不存在这样的常数 \(a\)，则称该数列无极限，或者说该数列发散。

定义中的符号说明：

\(\forall \epsilon > 0\)：表示对于任意一个正数 \(\epsilon\)，无论它有多小。 - \(\exists N\)：表示存在一个正整数 \(N\)，使得对于所有 \(n > N\)，都满足 \(|x_n - a| < \epsilon\)。换句话说，只要给定一个任意小的正数 \(\epsilon\)，总能找到一个足够大的正整数 \(N\)，使得从第 \(N\) 项开始，数列的项 \(x_n\) 和极限 \(a\) 之间的差值在 \(\epsilon\) 范围内。

直观解释：

我们可以把极限理解为，当数列的项数 \(n\) 越来越大时，数列的值越来越接近某个常数 \(a\)，并且差距可以任意小。当数列的项无限接近于这个常数 \(a\) 时，称这个常数为数列的极限。

🗨️深入学习
🖥️例1：证明： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 0 \]
证明：给定任意一个正数 \(\epsilon > 0\)，我们需要找到一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，满足： \[ \left| \frac{1}{n(n+1)^2} - 0 \right| = \frac{1}{n(n+1)^2} < \epsilon \] 因为： \[ \frac{1}{n(n+1)^2} < \frac{1}{n} \] 所以当 \(n > \frac{1}{\epsilon}\) 时，有 \(\frac{1}{n} < \epsilon\)。因此可以取 \(N = \frac{1}{\epsilon}\)，当 \(n > N\) 时，满足： \[ \frac{1}{n(n+1)^2} < \epsilon \] 所以根据定义，\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 0\)。

🖥️例2：证明： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \]
证明：给定任意一个正数 \(\epsilon > 0\)，我们需要找到一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，满足： \[ \left| \frac{\sin n}{n} - 0 \right| = \frac{|\sin n|}{n} \leq \frac{1}{n} \] 因为 \(\left| \sin n \right| \leq 1\)，所以只需要： \[ \frac{1}{n} < \epsilon \] 即当 \(n > \frac{1}{\epsilon}\) 时，\(\frac{1}{n} < \epsilon\)。因此可以取 \(N = \frac{1}{\epsilon}\)，当 \(n > N\) 时，有： \[ \left| \frac{\sin n}{n} - 0 \right| < \epsilon \] 因此，\(\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0\)。

🎓总结：

数列极限的定义基于数列的项无限接近于某个固定值。
ε-N定义是描述数列极限的标准方法，确保了数列的项和极限的差值可以被任意缩小。