数列极限

1. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 - 1} = 0 \): 分母增长比分子快，趋向于 0。

2. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 - 1} = 1 \): 分子分母最高次项相同。

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 - 4n + 2} = \frac{3}{5} \): 主项分析。

4. \( \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} = \infty \): 指数增长快于多项式。

5. \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \): 定义自然对数。

6. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = 0 \): 正弦函数有限，分母无限增长。

7. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = 0 \): 对数增长慢于线性函数。

8. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0 \): 阶乘增长比指数慢。

9. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \cdot \ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />} = 0 \): 对数函数增长慢。

10. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{e^n} = 0 \): 指数增长比多项式快。

11. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{2n^2 + 3n + 1} = \frac{1}{2} \): 主项分析法。

12. \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \): 指数极限。

13. \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} = e \): 指数极限。