数列极限

1. 数列极限概念

1.4. 数列表达式计算

数列极限计算问题

1. 输入数列项数 $ n $ 来计算数列 $ a_n = \frac{2n+1}{n^2} $：

输入 $ n $:

公式：$ a_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{1^2} = 3 $

题目解析

该数列的极限可以通过分子分母同时除以 $ n^2 $ 来计算： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} = 0 \]

2. 输入数列项数 $ n $ 来计算数列 $ a_n = \frac{3^n}{n!} $：

输入 $ n $:

公式：$ a_1 = \frac{3^1}{1!} = 3 $

题目解析

该数列的极限可以通过斯特林公式来近似计算，结果为： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} = 0 \]

3. 输入数列项数 $ n $ 来计算数列 $ a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $：

输入 $ n $:

公式：$ a_1 = \left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2 $

题目解析

该数列趋近于 $ e $： \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

4. 输入指数项数 $ n $ 计算数列 $ a_n = \frac{n^2}{n+1} $：

输入 $ n $:

公式：$ a_1 = \frac{1^2}{1+1} = 0.5 $

题目解析

该数列的极限可以通过分子分母同时除以 $ n $ 来计算： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = n \to \infty \] 因此该数列发散。

5. 输入数列项数 $ n $ 来计算数列 $a 下标 n 等于分数 n 分之 ln n 结束分数$ ：

输入 $ n $:

公式：$ a_1 = \frac{\ln(1)}{1} = 0 $

题目解析

该数列的极限是通过洛必达法则计算得出： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = 0 \]

6. 输入数列项数 $ n $ 来计算数列 $bold italic a 下标粗体字 n 等于 sin 左括号 n 右括号$ ：

输入 $ n $:

公式：$ a_1 = \sin(1) = 0.84 $

题目解析

该数列的值可以通过直接计算 \( \sin

\) 得出。由于 \( \sin

\) 是周期函数，它的值会在 -1 和 1 之间循环。