第五章 定积分及其应用
2. 第二节 定积分性质
### 定积分性质的证明过程
#### **1. 线性性质**
##### **性质描述**
- 对于两个函数 \( f(x) \), \( g(x) \)，满足：
\[
\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx.
\]
- 对于常数 \( c \)，满足：
\[
\int_a^b c f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx.
\]
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##### **证明 1: 加法性质**
令：
\[
H(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad G(x) = \int_a^x g(t) \, dt.
\]
根据定积分的定义，函数 \( f(x) + g(x) \) 的定积分为：
\[
\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx.
\]
证明：
\[
\text{对任意上限 } x \in [a, b], \quad F(x) = H(x) + G(x).
\]
\[
F'(x) = H'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).
\]
由积分的基本定义，该性质得证。
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##### **证明 2: 常数倍性质**
设 \( c \) 为常数，根据定积分的基本定义：
\[
\int_a^b c f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx.
\]
证明：
- 常数 \( c \) 可以拉出积分号，因为其为标量。
- **过程**：展开积分和定义，得到：
\[
I(x) = c \cdot F(x), \quad I'(x) = c \cdot F'(x).
\]
积分恢复后，原式得证。
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#### **2. 区间可加性**
##### **性质描述**
对任意函数 \( f(x) \) 和区间 \( a < b < c \)，满足：
\[
\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx.
\]
##### **证明**
根据定积分的定义，分段累积计算积分：
\[
\text{设 } F(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad F'(x) = f(x).
\]
令区间为：
\[
\int_a^c f(x) \, dx = F(c) - F(a).
\]
分为两部分：
\[
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a), \quad \int_b^c f(x) \, dx = F(c) - F(b).
\]
合并得：
\[
\int_a^c f(x) \, dx = \left[F(b) - F(a)\right] + \left[F(c) - F(b)\right] = F(c) - F(a).
\]
由此得证。
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#### **数值验证**
**线性性质验证：**
令 \( f(x) = x \), \( g(x) = x^2 \)，常数 \( c = 2 \)，区间 \( [0, 1] \)，我们计算：
\[
\int_0^1 [x + x^2] \, dx = \frac{5}{6}, \quad
\int_0^1 x \, dx + \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{5}{6}.
\]
数值结果一致，性质成立。
**区间可加性验证：**
令 \( f(x) = x^2 \)，区间为 \( [0, 2] \)，拆分为 \( [0, 1] \) 和 \( [1, 2] \)，计算：
\[
\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}, \quad
\int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}.
\]
结果相同，性质得证。