第五章 定积分及其应用

具体来说，给定一个函数\(f(x)\)和(两个数a、b（其中a小于b），我们可以通过将该区间\([a, b]\)划分成许多小的子区间，并在每个子区间上取样点计算对应的矩形面积之和来近似计算曲线下方的总面积。当这些小矩形越接近无穷细时，得到的近似值就会越精确，最终这个极限值就是所谓的定积分。 定积分表示： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx \]

### 定积分性质的证明过程

#### **1. 线性性质**

##### **性质描述**  

- 对于两个函数 \( f(x) \), \( g(x) \)，满足：

\[

\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx.

\]

- 对于常数 \( c \)，满足：

\[

\int_a^b c f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx.

\]

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##### **证明 1: 加法性质**

令：

\[

H(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad G(x) = \int_a^x g(t) \, dt.

\]  

根据定积分的定义，函数 \( f(x) + g(x) \) 的定积分为：

\[

\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx.

\]

证明：  

\[

\text{对任意上限 } x \in [a, b], \quad F(x) = H(x) + G(x).

\]

\[

F'(x) = H'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

\]  

由积分的基本定义，该性质得证。

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##### **证明 2: 常数倍性质**

设 \( c \) 为常数，根据定积分的基本定义：

\[

\int_a^b c f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx.

\]

证明：  

- 常数 \( c \) 可以拉出积分号，因为其为标量。

- **过程**：展开积分和定义，得到：

\[

I(x) = c \cdot F(x), \quad I'(x) = c \cdot F'(x).

\]  

积分恢复后，原式得证。

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#### **2. 区间可加性**

##### **性质描述**

对任意函数 \( f(x) \) 和区间 \( a < b < c \)，满足：

\[

\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx.

\]

##### **证明**

根据定积分的定义，分段累积计算积分：

\[

\text{设 } F(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad F'(x) = f(x).

\]

令区间为：

\[

\int_a^c f(x) \, dx = F(c) - F(a).

\]

分为两部分：

\[

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a), \quad \int_b^c f(x) \, dx = F(c) - F(b).

\]

合并得：

\[

\int_a^c f(x) \, dx = \left[F(b) - F(a)\right] + \left[F(c) - F(b)\right] = F(c) - F(a).

\]

由此得证。

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#### **数值验证**

**线性性质验证：**  

令 \( f(x) = x \), \( g(x) = x^2 \)，常数 \( c = 2 \)，区间 \( [0, 1] \)，我们计算：

\[

\int_0^1 [x + x^2] \, dx = \frac{5}{6}, \quad

\int_0^1 x \, dx + \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{5}{6}.

\]  

数值结果一致，性质成立。

**区间可加性验证：**  

令 \( f(x) = x^2 \)，区间为 \( [0, 2] \)，拆分为 \( [0, 1] \) 和 \( [1, 2] \)，计算：

\[

\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}, \quad

\int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}.

\]  

结果相同，性质得证。