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日期:	2025年04月30日星期三 02:23

描述

🔭引例1 在真空中从高处自由下落的物体，下落距离与时间都是变量。
假设物体开始降落时间为0，着地时间为$t$，则对应的每一个下落时间$t$都对应着一个确定的下落距离$s$的值。
这个对应规则可以用公式表示为： \[ s = \frac{1}{2}gt^2\] 其中$g$表示重力加速度。

学习要求：

1.探究1：物体假设从10m处降落，试求物体落地静止经历了多长时间？并画出函数图像。

2.探究2：物体假设从10m处降落，若物体落地反弹到每次降落高度的一半处，问物体静止经历了多长时间？(假设反弹时间与降落时间一样)

🔭引例2 设有半径为$r$的圆（$r$为常数），记该圆内接正、$n$边形的周长为$L$。则对每一个边数$n$，都对应着一个确定的周长$L$的值。这个对应规则可以用公式表示为： $$ L = 2nr \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) $$
上述两个例子的共同点：（1）含有两个变量；（2）当其中一个变量在某个范围内每取定一点，另外一个变量按照某个规则有确定的值与之对应。由此，可抽象出函数的概念。（参与上述两个引例动画演示）

学习要求：
1.探究1：拖动滑竿，计算圆内接正多边形周长，列出可行的方法。
2.探究2：请你设计一个计算圆周长、π值的方案。

🖥️参与探究：根据引例2，请你设计一个计算 $ \pi $ 值的方案。

1. 函数的定义

👨‍💻定义1 设 $ D $ 为一非空数集，若存在一个对应法则 $ f $，使得对于每一个 $ x \in D $，按对应法则 $ f $，有唯一确定的数 $ y $ 与之对应，则称 $ y $ 是定义在 $ D $ 上的一个函数，记作 $ y = f(x) $。称 $ x $ 为自变量，$ y $ 为因变量，$ D $ 为函数的定义域，记为 $ \mathrm{Dom}(f) $，$ f(x) $ 的全体所成的数集称为函数的值域，记为 $ \mathrm{Ran}(f) $。

动手试一试：

🖥️函数扩展阅读

2. 区间与邻域

区间是函数中最为常用的一类定义域。设 $ \mathbb{R} $（表示实数集），且 $ a < b $。称数集 $ (a, b) $ 为开区间，记为 $ (a, b) $；称数集 $ [a, b] $ 为闭区间，记为 $ [a, b] $；称数集 $ (a, b] $ 为左开右闭区间，记为 $ (a, b] $，和称数集 $ [a, b) $ 为左闭右开区间，记为 $ [a, b) $。$ (a, b) $ 和 $ [a, b] $ 统称为半开半闭区间。以上这些区间统称为有限区间，称 $ b - a $ 为区间的长度。

此外，$ (a, +\infty) $；$ (-\infty, b) $；$ (-\infty, +\infty) $统称为无限区间（或称无穷区间）。有限区间和无限区间统称为区间。

高等数学中常用的与区间有关的概念就是邻域。

所谓邻域就是指：对于任意的正数 $ \epsilon $，开区间 $ (x - \epsilon, x + \epsilon) $ 称为点 $ x $ 的邻域，$ x $ 称为邻域的中心，$ \epsilon $ 称为邻域的半径，记作 $ N(x, \epsilon) $，即

\[ N(x, \epsilon) = \{ y \in \mathbb{R} \ | \ |y - x| < \epsilon \}. \]

在 $ N(x, \epsilon) $ 中去掉邻域中心 $ x $ 后的集合，称为点 $ x $ 的去心邻域。记作 $ N(x, \epsilon) \setminus \{x\} $，即

\[ N(x, \epsilon) \setminus \{x\} = \{ y \in \mathbb{R} \ | \ 0 < |y - x| < \epsilon \}. \]

称开区间 $ (x - \epsilon, x) $ 为 $ x $ 的左邻域，开区间 $ (x, x + \epsilon) $ 为 $ x $ 的右邻域。

3. 函数的图形

设函数 $ y = f(x) $ 是定义在 $ D $ 上的函数，在平面上取定直角坐标系后，对每个 $ x \in D $，可确定平面上一点 $ (x, f(x)) $，点集 $ \{ (x, f(x)) \ | \ x \in D \} $ 画出平面上一条曲线，该曲线称为函数的图形。

函数的常用表示方法：表格法、图像法、解析法（或公式法）。

例1 符号函数

其定义域 $ \mathbb{R} $，值域 $ \{-1, 0, 1\} $。

例2 绝对值函数

其定义域 $ \mathbb{R} $，值域 $ [0, +\infty) $。

例3 取整函数

其中 $ \lfloor x \rfloor $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，即

\[ \lfloor x \rfloor = n \quad \text{且} \quad n \leq x < n+1 \quad (n \in \mathbb{Z}). \]

其定义域 $ \mathbb{R} $，值域 $ \mathbb{Z} $。

例4 整标函数

整标函数也记为 $ E(x) $。由此得到一列有次序的数叫做数列，记为 $ \{ a_n \} $ 或 $ a_1, a_2, \ldots $，其中第 $ n $ 项 $ a_n $ 叫做数列的通项或一般项。例如：

\[ a_n = (-1)^n. \]

4. 函数的四则运算

设函数 $ f $ 和 $ g $ 的定义域依次为 $ D_f $ 和 $ D_g $。若 $ D_f \cap D_g \neq \emptyset $，则定义这两个函数的下列运算:

和（差）: $ f(x) \pm g(x) $;
积: $ f(x) \cdot g(x) $;
商: $ \frac{f(x)}{g(x)} $，其中 $ g(x) \neq 0 $。

二、反函数与复合函数

1. 反函数

在函数关系中，研究的是因变量随着自变量变化而变化的情况。有时候需要反过来考虑，研究$ y $随着$ x $变化而变化的情况。

🧑‍💻定义2 设函数$ f $的定义域为$ D $、值域为$ R $。如果对于$ R $中任一$ y $，在$ D $中必有唯一的$ x $使得$ f(x) = y $，所确定的函数关系称为$ f $的反函数，记为$ f^{-1} $。相对于反函数来说，原来的函数称为直接函数。此时，常常记函数的反函数为 $x 等于 f 的负 1 次方左括号 x 右括号$ 。

探究反函数

例6 函数$ y = \sin x $在$ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $上，存在反函数：

对任意$ y \in [-1, 1] $，存在唯一$ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $与之对应，称为反正弦函数，记为：

\[ x = \arcsin y. \]

其图形与$ y = \sin x $，关于直线$ y = x $对称。

同样，还是有下面几个反三角函数：

反余弦函数：$ x = \arccos y $，$ y = \cos x $；
反正切函数：$ x = \arctan y $，$ y = \tan x $；
反余切函数：$ x = \text{arccot} y $，$ y = \cot x $。

例7 求 $ f(x) = 2x + 1 $ 的反函数。
例8 求 $ f(x) = x^3 $ 的反函数。

2. 复合函数

定义3 设函数 $ u = f(x) $ 的定义域为 $ D $，函数 $ y = g(u) $ 在 $ u $ 上有定义，且值域为 $ R $，则在 $ D $ 上确定的函数 $ y = g(f(x)) $ 称为由函数 $ g $ 与函数 $ f $ 的复合函数，记为 $ y = (g \circ f)(x) $，即 $ y = g(f(x)) $。它的定义域为 $\{ x \in D \ | \ f(x) \in R \}$，其中 $ g $ 称为外函数，$ f $ 为内函数，$ u $ 称为中间变量。

例9 函数 $ y = \sin(2x) $ 与 $ y = 2x $ 的复合函数为 $ y = \sin(2x) $，其定义域为 $ \mathbb{R} $，它与 $ y = \sin x $ 的定义域完全相同。
例10 函数 $ y = \ln(1 + x^2) $ 与 $ y = 1 + x^2 $ 的复合函数为 $ y = \ln(1 + x^2) $，其定义域为 $ \mathbb{R} $，它与 $ y = \ln x $ 的定义域不同，是后者的一部分。
例11 函数 $ y = \sqrt{1 - x^2} $ 与 $ y = x^3 $ 无法复合，因为 $ x^3 $ 的值域在函数 $ \sqrt{1 - x^2} $ 的定义域之外。

三、函数的几种性质

1. 单调性

单调增加：如果对于区间 $ I $ 上任取的两个值 $ x_1, x_2 $，且 $ x_1 < x_2 $ 时，若 $ f(x_1) \leq f(x_2) $ 恒成立，则称函数 $ f $ 在区间 $ I $ 上单调增加。

单调减少：如果对于区间 $ I $ 上任取的两个值 $ x_1, x_2 $，且 $ x_1 < x_2 $ 时，若 $ f(x_1) \geq f(x_2) $ 恒成立，则称函数 $ f $ 在区间 $ I $ 上单调减少。

2. 奇偶性

设函数 $ f(x) $ 的定义域是关于原点对称的，如果对于任一 $ x \in D $，有 $ f(-x) = f(x) $ 恒成立，则称 $ f(x) $ 为偶函数；如果对于任一 $ x \in D $，有 $ f(-x) = -f(x) $ 恒成立，则称 $ f(x) $ 为奇函数。

例12 设 $ f(x) $ 是定义在 $ (-\infty, +\infty) $ 上的函数，证明：$ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

3. 有界性

若存在数 $ M $，使得任一 $ x \in D $，都有 $ |f(x)| \leq M $，则称数集 $ D $ 为有界集。否则称为无界集。

上界：若存在常数 $ M $，对区间 $ I $ 的任一点 $ x $，都有 $ f(x) \leq M $ 成立，则称 $ M $ 为 $ f $ 在区间 $ I $ 上的一个上界；从图形上来看，此时曲线在直线 $ y = M $ 的下方。

下界：若存在常数 $ N $，对区间 $ I $ 的任一点 $ x $，都有 $ f(x) $ 满足 $ f(x) \geq N $，则称 $ N $ 为 $ f $ 在区间 $ I $ 上的一个下界；从图形上来看，此时曲线在直线 $ y = N $ 的上方。

有界：称 $ f $ 在区间 $ I $ 上既有上界又有下界的函数在 $ I $ 上有界（或在 $ I $ 上是有界函数），否则称 $ f $ 在 $ I $ 上无界（或在 $ I $ 上是无界函数）。

4. 周期性

设函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ D $，若存在正数 $ T $，使得对于任一 $ x \in D $，有 $ f(x + T) = f(x) $ 恒成立，则称 $ f(x) $ 为周期函数，$ T $ 为 $ f(x) $ 的周期，满足上述关系的最小正数 $ T $ 称为 $ f(x) $ 的最小正周期，通常称周期函数的周期就是指最小正周期。

四、初等函数

1.基本初等函数

现将在中学里已经学习过的几种函数汇列于下：

常数函数：$ f(x) = c $（$ c $ 为常数）
幂函数：$ f(x) = x^n $（$ n $ 为常数）
指数函数：$ f(x) = a^x $
对数函数：$ f(x) = \log_a x $
三角函数：$ f(x) = \sin x, \cos x, \tan x $ 都是周期函数，并且其中 $ \sin x, \tan x $ 都是奇函数，而 $ \cos x $ 是偶函数。
反三角函数：$ f(x) = \arcsin x, \arccos x, \arctan x $。

以上几类函数是研究函数的基础，称为基本初等函数。

2.初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所得到的并且能用一个式子表示的函数称为初等函数。

1).双曲函数

在工程技术中常用到一类被称为双曲函数的初等函数，它们定义如下：

双曲正弦：$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $，定义域为 $ \mathbb{R} $，值域为 $ \mathbb{R} $；
双曲余弦：$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $，定义域为 $ \mathbb{R} $，值域为 $ [1, +\infty) $；
双曲正切：$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $，定义域为 $ \mathbb{R} $，值域为 $ (-1, 1) $。

2).初等函数应用

先熟悉下面的几个函数。

📒参与更多活动

中学数学中的函数

例题1 计算 $\sinh(0)$ 和 $\cosh(0)$

计算：

双曲正弦：$\sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = 0$

双曲余弦：$\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1$

练习

计算 $\tanh(0)$。

Hint:

利用双曲正弦和双曲余弦的定义公式。

Answer:

$\tanh(0) = 0$

Solution:

根据双曲正弦和双曲余弦的定义：

$\sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = 0$

$\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1$

因此，$\tanh(0) = \frac{\sinh(0)}{\cosh(0)} = \frac{0}{1} = 0$

一数列极限的概念

引例 “一尺之锤，日取其半，万世不竭。”

这样剩下棒子的长度就成了一个数列，其通项为 \[a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\] 容易看出，当 $n$ 无限增大，棒长无限接近于一个确定的常数零。我们把这个确定的常数零称为数列 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 当 $n$ 趋向于无穷时的极限。
一般地，如果“随着 $n$ 的无限增大，通项 $x_n$ 无限地接近某一常数 $a$”，则称常数 $a$ 为数列的极限。
如何准确地刻画极限的概念呢？我们知道数与数的接近程度可以通过这两个数差的绝对值来刻画。这就是说，当 $n$ 充分大时，数列的通项 $x_n$ 与常数 $a$ 之差的绝对值可以任意小。任意小性是无法用一个具体的很小很小的数来刻画的。为此，引入希腊字母 $\epsilon$ 来刻画任意小的正数。

⚙️定义1 (ε-N定义) 设 $\{x_n\}$ 为一数列，如果存在常数 $a$，对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 \[|x_n - a| < \epsilon\] 则称常数 $a$ 为数列 $\{x_n\}$ 的极限，或称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记作 \[\lim_{n \to \infty} x_n = a\] 否则称数列没有极限，或者说数列是发散的。

这里引入两个常用的数学符号：“$\forall$”表示任意的；“$\exists$”表示存在。由此， \[\lim_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N, \text{当} n > N \text{时，有} |x_n - a| < \epsilon\]

👩‍💻交互学习

🧑‍💻数列极限探究

✍️例题

例1 证明 $\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n(n+1)^2} = 0$

证明：任给 $\epsilon > 0$，为了使 \[|x_n - 0| = \left| -\frac{1}{n(n+1)^2} - 0 \right| = \frac{1}{n(n+1)^2} < \frac{1}{n} < \epsilon\] 即 $n > \frac{1}{\epsilon}$，所以存在 $N = \frac{1}{\epsilon}$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - 0| < \epsilon$。

因此，$\forall \epsilon > 0$，$\exists N = \frac{1}{\epsilon}$，当 $n > N$ 时，有 \[-\frac{1}{n(n+1)^2} < \epsilon\]

即 \[\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n(n+1)^2} = 0\]

例2 证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$

证明：任给 $\epsilon > 0$，因为 \[|x_n - 0| = \left| \frac{\sin n}{n} - 0 \right| \leq \frac{1}{n}\] 如果 \[\frac{1}{n} < \epsilon\] 即 \[n > \frac{1}{\epsilon}\] 则存在 $N = \frac{1}{\epsilon}$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - 0| < \epsilon$。

因此，$\forall \epsilon > 0$，$\exists N = \frac{1}{\epsilon}$，当 $n > N$ 时，有 \[\frac{\sin n}{n} < \epsilon\]

即 \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0\]

例3 证明 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2^n}\right) = 1$

证明：$\forall \epsilon > 0$（不妨设 $\epsilon < 1$），为了使 \[|x_n - 1| = \frac{1}{2^n}\] 只要 \[2^n > \frac{1}{\epsilon}\] 即 \[n > \log_2 \frac{1}{\epsilon} = -\log_2 \epsilon\] 则存在 $N = -\log_2 \epsilon$，当 $n > N$ 时，有 \[\left| \left(1 + \frac{1}{2^n}\right) - 1 \right| < \epsilon\]

即 \[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2^n}\right) = 1\]

♻️探究：为什么可以设 $\epsilon < 1$？
💫💫💫

练习1 证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0$

证明：任给 $\epsilon > 0$，为了使 $ | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon $，即

\[ \frac{1}{n} < \epsilon, \]

所以存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]

因此，

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0. \]

练习2 证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1$

查看解答

证明：任给 $\epsilon > 0$，为了使 $ | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon $，即

\[ \left| 1 + \frac{1}{n} - 1 \right| < \epsilon, \]

即

\[ \frac{1}{n} < \epsilon. \]

所以存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]

因此，

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1. \]

练习3 证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2$

查看解答

证明：$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon $，

即

\[ \left| 2 + \frac{1}{n} - 2 \right| < \epsilon, \]

即

\[ \frac{1}{n} < \epsilon. \]

存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]

所以

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2. \]

✍️练习题

证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3$

Hint:

将分子和分母同时除以 $ n $，然后取极限。

Answer:

$\lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3$

Solution:

证明：任给 $\epsilon > 0$，为了使 $ \left| \frac{3n+2}{n} - 3 \right| < \epsilon $，即

\[ \left| 3 + \frac{2}{n} - 3 \right| < \epsilon, \]

即

\[ \frac{2}{n} < \epsilon. \]

所以存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{2}{\epsilon}. \]

因此，

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{2}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{3n+2}{n} - 3 \right| < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3. \]

二收敛数列的性质

🧭 定理与例题

定理1 （极限的唯一性）

假设数列 $\{x_n\}$ 同时收敛到两个不同的极限 $a$ 和 $b$，然后构造一个反证法。

设 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = b$，不妨设 $a < b$，取 $\epsilon_0 = \frac{b-a}{2}$。

由于 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，对于 $\epsilon_0$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，有

\[ |x_n - a| < \epsilon_0 = \frac{b-a}{2}, \]

即

\[ x_n < a + \frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}. \]

又由于 $\lim_{n \to \infty} x_n = b$，对于 $\epsilon_0$，存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时，有

\[ |x_n - b| < \epsilon_0 = \frac{b-a}{2}, \]

即

\[ x_n > b - \frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2}. \]

取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时，既有

\[ x_n < \frac{a+b}{2}, \]

又有

\[ x_n > \frac{a+b}{2}, \]

但这是不可能的。故必有 $a = b$。

定理2（有界性）

假设数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，证明数列 $\{x_n\}$ 有界。

设 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，对 $\epsilon = 1$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有

\[ |x_n - a| < 1, \]

而

\[ |x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N| \]

是有限个数，取 $M = \max\{|a|+1, |x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|\}$，则对于一切自然数 $n$，都有

\[ |x_n| \leq M. \]

故收敛数列有界。

推论: 若数列无界，则必发散。

定理3（保号性）

假设数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，且 $a \neq 0$，证明从某项起 $x_n$ 与 $a$ 同号。

不妨设 $a > 0$，由 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，按照定义 $\forall \epsilon > 0 \，\exists N$，当 $n > N$ 时，有

\[ |x_n - a| < \epsilon. \]

取 $\epsilon = \frac{a}{2}$，则当 $n > N$ 时，

\[ x_n > a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} > 0. \]

即当 $n > N$ 时，$x_n$ 与 $a$ 同号。

推论: 若数列 $\{x_n\}$ 从某项起单调，且 $\lim_{n \to \infty} |x_n| = 0$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$。

定理4 若数列收敛于 $a$，则其任一子列也收敛于 $a$

利用数列 $\{x_n\}$ 收敛的定义来证明其任一子列也收敛于 $a$。

因为 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，所以对任意的 $\epsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \epsilon$ 成立。

取 $K = N$，当 $k > K$ 时，$n_k > n_K = n_N \ge N$，有 $|x_{n_k} - a| < \epsilon$ 成立。

因此，对任意的 $\epsilon > 0$，存在 $K = N$，当 $k > K$ 时，有 $|x_{n_k} - a| < \epsilon$ 成立。

故

\[ \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = a. \]

🖼️ 例题

例4 证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 1}{2n^2 + 3n + 1} = \frac{1}{2}$

设 $x_n = \frac{n^2 - 1}{2n^2 + 3n + 1}$，$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{2}$。

取 $\epsilon > 0$，因为

\[ \left| \frac{n^2 - 1}{2n^2 + 3n + 1} - \frac{1}{2} \right| = \left| \frac{2(n^2 - 1) - (2n^2 + 3n + 1)}{2(2n^2 + 3n + 1)} \right| = \left| \frac{-3n - 3}{4n^2 + 6n + 2} \right| = \frac{3(n + 1)}{4n^2 + 6n + 2}, \]

由此可以看到，当 $n \to \infty$ 时，分母增长得更快，因此整个分式趋向于0，所以

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3(n + 1)}{4n^2 + 6n + 2} = 0, \]

即

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 1}{2n^2 + 3n + 1} = \frac{1}{2}. \]

例5 设 $x_n > 0$，且 $\lim_{n \to \infty} x_n = a > 0$，证明 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}$

因为

\[ \left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{a} \right| = \left| \frac{a - x_n}{ax_n} \right| = \frac{|a - x_n|}{|a||x_n|}, \]

由 $\left| x_n - a \right| < \epsilon$ 得到 $\forall \epsilon > 0 ，\exists \epsilon_1 = \frac{a \epsilon}{2} > 0 ，\exists N，当 n > N 时，有 |x_n - a| < \epsilon_1 成立$

从而

\[ \frac{|a - x_n|}{|a||x_n|} < \frac{\epsilon_1}{|a|} = \epsilon. \]

所以

\[ \forall \epsilon > 0， \exists \frac{a \epsilon}{2} > 0， \exists N，当 n > N 时，有 \left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{a} \right| < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}. \]

💍 练习题

练习1 证明 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

已知 $\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = a$ 和 $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a$，试证：

\[ \lim_{n \to \infty} x_n = a \]

证明：由 $\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = a$，对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N_1$，当 $k > N_1$ 时，有

\[ |x_{2k-1} - a| < \epsilon. \]

由 $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a$，对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N_2$，当 $k > N_2$ 时，有

\[ |x_{2k} - a| < \epsilon. \]

令 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则当 $n > 2N$ 时，有

\[ |x_n - a| < \epsilon. \]

即 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。

练习2 证明 $\lim_{n \to \infty} \left|u_n\right| = \left|a\right|$

若 $\lim_{n \to \infty} u_n = a $，证明

\[ \lim_{n \to \infty} \left| u_n \right| = \left| a \right| \]

并举例说明反之未必成立。

证明：设 $\lim_{n \to \infty} u_n = a$，对任意 $\epsilon > 0$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有

\[ |u_n - a| < \epsilon. \]

即 $\lim_{n \to \infty} \left| u_n \right| = \left| a \right|$。

反例：设 $v_n = (-1)^n $，则 $\lim_{n \to \infty} v_{2n} = 1 \to 1$，$\lim_{n \to \infty} v_{2n+1} = -1 \to -1$，但 $\{v_n\}$ 并不收敛。

函数极限

四、初等函数

基本初等函数

现将在中学里已经学习过的几种函数汇列于下：

常数函数：$f(x) = c$（$c$为常数）
幂函数：$f(x) = x^n$（$n$为常数）
指数函数：$f(x) = a^x$
对数函数：$f(x) = \log_a x$
三角函数：$f(x) = \sin x, \cos x, \tan x$都是周期函数，并且其中$\sin x, \tan x$都是奇函数，而$\cos x$是偶函数。
反三角函数：$f(x) = \arcsin x, \arccos x, \arctan x$

以上几类函数是研究函数的基础，称为基本初等函数。

初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所得到的并且能用一个式子表示的函数称为初等函数。

双曲函数

在工程技术中常用到一类被称为双曲函数的初等函数，它们定义如下：

双曲正弦：$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，定义域为$\mathbb{R}$，值域为$\mathbb{R}$
双曲余弦：$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$，定义域为$\mathbb{R}$，值域为$[1, +\infty)$
双曲正切：$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$，定义域为$\mathbb{R}$，值域为$(-1, 1)$

例题1 计算 $\sinh(0)$ 和 $\cosh(0)$

计算：

双曲正弦：$\sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = 0$

双曲余弦：$\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1$

练习题 1

计算 $\tanh(0)$。

Hint:

利用双曲正弦和双曲余弦的定义公式。

Answer:

$\tanh(0) = 0$

Solution:

根据双曲正弦和双曲余弦的定义：

$\sinh(0) = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = 0$

$\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1$

因此，$\tanh(0) = \frac{\sinh(0)}{\cosh(0)} = \frac{0}{1} = 0$

第2节数列的极限

极限的思想是近代数学的一种重要思想，是探究某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子·天下篇》一书中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想。

关键词：数列极限的定义、数列极限的唯一性、有界性、保号性

极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数求和等都建立在极限的基础上。

一数列极限的概念

引例 “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

这样剩下棒子的长度就成了一个数列，其通项为

\[ a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n. \]

容易看出，当 $ n $ 无限增大，棒长无限接近于一个确定的常数零。我们把这个确定的常数零，称为数列当 $ n $ 趋向于无穷时的极限。

一般地，如果“随着 $ n $ 的无限增大，通项 $ a_n $ 无限地接近某一常数 $ A $ ”，则称常数 $ A $ 为数列的极限。

如何准确地刻划极限的概念呢？我们知道数与数的接近程度可以通过这两个数差的绝对值来刻画。这就是说，当 $ n $ 充分大时，数列的通项 $ a_n $ 与常数 $ A $ 之差的绝对值可以任意的小。任意小性是无法用一个具体的很小很小的数来刻画的。为此，引入希腊字母 $ \epsilon $ 来刻画任一小的正数。

定义1（定义）

设 $\{ a_n \}$ 为一数列，如果存在常数 $ A $，对于任意给定的正数 $ \epsilon $，总存在正整数 $ N $，使得当 $ n > N $ 时，有

\[ |a_n - A| < \epsilon, \]

则称常数 $ A $ 为数列 $\{ a_n \}$ 的极限，或称数列 $\{ a_n \}$ 收敛于 $ A $，记作

\[ \lim_{{n \to \infty}} a_n = A, \]

或

\[ a_n \to A \quad (n \to \infty). \]

否则称数列 $\{ a_n \}$ 没有极限，或者说数列 $\{ a_n \}$ 是发散的。

这里引入两个常用的数学符号：“$ \forall $” 表示任意的；“$ \exists $” 表示存在。由此，

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon. \]

例1 证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0$

证明：任给 $\epsilon > 0$，为了使 $ | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon $，即

\[ \frac{1}{n} < \epsilon, \]

所以存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]

因此，

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0. \]

例2 证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1$

查看解答

证明：任给 $\epsilon > 0$，为了使 $ | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon $，即

\[ \left| 1 + \frac{1}{n} - 1 \right| < \epsilon, \]

即

\[ \frac{1}{n} < \epsilon. \]

所以存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]

因此，

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1. \]

例3 证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2$

查看解答

证明：$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon $，

即

\[ \left| 2 + \frac{1}{n} - 2 \right| < \epsilon, \]

即

\[ \frac{1}{n} < \epsilon. \]

存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{1}{\epsilon}. \]

所以

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2. \]

练习题

证明 $\lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3$

Hint:

将分子和分母同时除以 $ n $，然后取极限。

Answer:

$\lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3$

Solution:

证明：任给 $\epsilon > 0$，为了使 $ \left| \frac{3n+2}{n} - 3 \right| < \epsilon $，即

\[ \left| 3 + \frac{2}{n} - 3 \right| < \epsilon, \]

即

\[ \frac{2}{n} < \epsilon. \]

所以存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，有

\[ n > \frac{2}{\epsilon}. \]

因此，

\[ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{2}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{3n+2}{n} - 3 \right| < \epsilon. \]

即

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{3n+2}{n} = 3. \]

二收敛数列的性质

定理1 （极限的唯一性）

收敛数列的极限是唯一的。

证明（用反证法）

设 $\{ a_n \}$ 收敛于 $A$，且收敛于 $B$，不妨设 $A < B$。取

\[ \epsilon = \frac{B - A}{2}. \]

由于 $\{ a_n \}$ 收敛于 $A$，存在正整数 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，有

\[ |a_n - A| < \epsilon, \]

即

\[ A - \epsilon < a_n < A + \epsilon, \]

即

\[ A - \frac{B - A}{2} < a_n < A + \frac{B - A}{2}, \]

即

\[ A < a_n < \frac{A + B}{2}. \]

由于 $\{ a_n \}$ 收敛于 $B$，存在正整数 $N_2$，当 $n > N_2$ 时，有

\[ |a_n - B| < \epsilon, \]

即

\[ B - \epsilon < a_n < B + \epsilon, \]

即

\[ B - \frac{B - A}{2} < a_n < B + \frac{B - A}{2}, \]

即

\[ \frac{A + B}{2} < a_n < B. \]

取 $N = \max(N_1, N_2)$，当 $n > N$ 时，有

\[ A < a_n < \frac{A + B}{2} < a_n < B. \]

矛盾，所以

\[ A = B. \]

定理2（有界性）

收敛数列必定有界。

证明

设 $\{ a_n \}$ 收敛于 $A$，则对 $\epsilon = 1$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有

\[ |a_n - A| < 1, \]

即

\[ A - 1 < a_n < A + 1. \]

取 $M = \max \{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_N|, |A - 1|, |A + 1|\}$，则对于一切 $n \in \mathbb{N}$，都有

\[ |a_n| \leq M. \]

故收敛数列有界。

反之未必：有界数列不一定收敛。

推论若数列无界，则必发散。

定理3（保号性）

若数列 $\{ a_n \}$ 收敛于 $A$，且 $A \ne 0$，则存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，$a_n$ 与 $A$ 同号。

证明

不妨设 $A > 0$，由 $\{ a_n \}$ 收敛于 $A$，按照定义

\[ \forall \epsilon = \frac{A}{2}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon, \]

即

\[ -\frac{A}{2} < a_n - A < \frac{A}{2}, \]

即

\[ A - \frac{A}{2} < a_n < A + \frac{A}{2}, \]

即

\[ \frac{A}{2} < a_n < \frac{3A}{2}. \]

即当 $n > N$ 时，$a_n$ 与 $A$ 同号。

推论

若数列 $\{ a_n \}$ 从某项起有 $a_n > 0$（或 $a_n < 0$），且 $\lim_{{n \to \infty}} a_n = A$，那么 $A \geq 0$（或 \(A \leq 0\）。

三、函数极限的定义

数列是定义在正整数集合上的函数。数列的极限可以看作函数当自变量 $x \to +\infty$ 时的极限。若将数列极限概念中自变量和函数值的特殊性撇开，可以引出函数极限的概念。

一自变量趋于无穷大时函数的极限

观察函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，从图像上可见：当自变量 $x \to +\infty$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 无限地接近于0。

定义1

设 $y = f(x)$ 为定义在 $(a, +\infty)$ 上的函数，$A$ 是一个常数，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，存在正数 $M$，使得当 $x > M$ 时，恒有

\[ |f(x) - A| < \epsilon, \]

则称 $A$ 是函数 $f(x)$ 当 $x \to +\infty$ 时的极限，记作

\[ \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = A, \]

或

\[ f(x) \to A \quad (x \to +\infty). \]

从图像上可见，函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 当自变量 $x \to +\infty$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 也无限地接近于0。类似于定义1，可定义 $x \to -\infty$ 时函数的极限。

定义2

函数 $y = f(x)$ 在 $(- \infty, b)$ 内有定义（$A$ 为常数），若任给 $\epsilon > 0$，存在正数 $M$，当 $x < -M$ 时，恒有

\[ |f(x) - A| < \epsilon, \]

则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to -\infty$ 时的极限，记作

\[ \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = A, \]

或

\[ f(x) \to A \quad (x \to -\infty). \]

综上，对于函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，从图像上可见，当 $x \to +\infty$ 或 $x \to -\infty$ 时，函数值 $f(x)$ 无限地接近于0。综合定义1和定义2，那么，如何反映函数自变量 $x$ 朝左右两个方向同时变化时函数 $f(x)$ 的变化趋势呢？即如何定义 $x \to a$ 时的极限。

定义3

函数 $y = f(x)$ 在 $(a - \delta, a + \delta)$ 内有定义，若任给 $\epsilon > 0$，存在正数 $\delta$，当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，恒有

\[ |f(x) - A| < \epsilon, \]

则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to a$ 时的极限，记作

\[ \lim_{{x \to a}} f(x) = A, \]

或

\[ f(x) \to A \quad (x \to a). \]

例1 证明 $\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0$

查看解答

证明：任给 $\epsilon > 0$，取 $M = \frac{1}{\epsilon}$，当 $x > M$ 时，有

\[ \left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon. \]

所以

\[ \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0. \]

练习题

证明 $\lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0$

Hint:

类似于 $x \to +\infty$ 时的证明，取适当的 $M$。

Answer:

$\lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0$

Solution:

证明：任给 $\epsilon > 0$，取 $M = \frac{1}{\epsilon}$，当 $x < -M$ 时，有

\[ \left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon. \]

所以

\[ \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0. \]

例2 证明 $\lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0$

查看解答

证明：任给 $\epsilon > 0$，取 $M = \frac{1}{\epsilon}$，当 $x < -M$ 时，有

\[ \left| \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon. \]

所以

\[ \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0. \]

例3 讨论 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}$

查看解答

解：设 $y = \frac{\sin x}{x}$，显然 $y$ 在 $x = 0$ 点处没有定义，但在 $x \ne 0$ 的点处有定义，并且有

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1. \]

由极限的定义，容易得到下面的定理：

定理1

极限存在的充分必要条件是

\[ \lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x) = A, \]

即

\[ \lim_{{x \to a}} f(x) = A. \]

例4 讨论 $\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x}$ 是否存在

查看解答

解：容易证明：

\[ \lim_{{x \to 0^-}} \frac{1}{x} = -\infty, \] \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x} = +\infty. \]

由定理1可得 $\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x}$ 不存在。

例5 讨论 $\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{(x-1)^2}$ 是否存在

查看解答

解：容易证明：

\[ \lim_{{x \to 1^-}} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty, \] \[ \lim_{{x \to 1^+}} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty. \]

由定理1可得 \(\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty。

例6 讨论 $\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x^2}$ 是否存在

查看解答

解：容易证明：

\[ \lim_{{x \to 0^-}} \frac{1}{x^2} = +\infty, \] \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x^2} = +\infty。 \]

由定理1可得 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x^2} = +\infty。

练习题

讨论 $\lim_{{x \to 2}} \frac{1}{(x-2)^2}$ 是否存在。

Hint:

类似于 $\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{(x-1)^2}$ 的讨论，考虑左右极限。

Answer:

$\lim_{{x \to 2}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty$

Solution:

解：容易证明：

\[ \lim_{{x \to 2^-}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty, \] \[ \lim_{{x \to 2^+}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty. \]

由定理1可得 \(\lim_{{x \to 2}} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty。

极限的思想是近代数学的一种重要思想，是探究某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子·天下篇》一书中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想。

关键词：数列极限的定义、数列极限的唯一性、有界性、保号性

极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数求和等都建立在极限的基础上。

一数列极限的概念

引例 “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

这样剩下棒子的长度就成了一个数列，其通项为 $$ a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n. $$ 容易看出，当$n$无限增大，棒长无限接近于一个确定的常数零。我们把这个确定的常数零，称为数列当$n$趋向于无穷时的极限。一般地，如果“随着$n\}的无限增大，通项\{a_n$无限地接近某一常数$A$”，则称常数$A$为数列的极限。 如何准确地刻划极限的概念呢？我们知道数与数的接近程度可以通过这两个数差的绝对值来刻画。这就是说，当$n$充分大时，数列的通项\(a_n$与常数$A$之差的绝对值可以任意的小。任意小性是无法用一个具体的很小很小的数来刻画的。为此，引入希腊字母$\epsilon$来刻画任一小的正数。 定义1（定义）设$\{ a_n \}$为一数列，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正整数$$N$$，使得当$n > N$时，有 $$ |a_n - A| < \epsilon, $$ 则称常数$A$为数列$\{ a_n \}$的极限，或称数列$$\{ a_n \}$$收敛于$A$，记作 $$ \lim_{{n \to \infty}} a_n = A, $$ 或 $$ a_n \to A \quad (n \to \infty). $$ 否则称数列$\{ a_n \}$没有极限，或者说数列$\{ a_n \}$是发散的。这里引入两个常用的数学符号：“$\forall$”表示任意的；“$\exists$”表示存在。由此， $$ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon. $$ #### 例1 证明$\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0$。证明：任给$\epsilon > 0$，为了使$| \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon$，即 $$ \frac{1}{n} < \epsilon, $$ 所以存在正整数$N\)，当$n > N\)时，有 $$ n > \frac{1}{\epsilon}. $$ 因此， $$ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon. $$ 即 $$ \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0. $$ #### 例2 证明$\lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1\)。证明：任给$\epsilon > 0$，为了使$| \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon$，即 $$ \left| 1 + \frac{1}{n} - 1 \right| < \epsilon, $$ 即 $$ \frac{1}{n} < \epsilon, $$ 所以存在正整数$N\)，当$n > N$时，有 $$ n > \frac{1}{\epsilon}. $$ 因此， $$ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon. $$ 即 $$ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1. $$ #### 例3 证明$\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2$。证明：$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon$，即 $$ \left| 2 + \frac{1}{n} - 2 \right| < \epsilon, $$ 即 $$ \frac{1}{n} < \epsilon. $$ 存在正整数$N$，当\(n > N$时，有 $$ n > \frac{1}{\epsilon}. $$ 所以 $$ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon. $$ 即 $$ \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2. $$ ### 二收敛数列的性质 #### 定理1 （极限的唯一性）收敛数列的极限是唯一的。证明（用反证法）：设\(\{ a_n \}$收敛于$A$，且收敛于$B$，不妨设$A < B$。取 $$ \epsilon = \frac{B - A}{2}. $$ 由于$\{ a_n \}$收敛于$A$，存在正整数$N_1$，当$n > N_1$时，有 $$ |a_n - A| < \epsilon, $$ 即 $$ A - \epsilon < a_n < A + \epsilon, $$ 即 $$ A - \frac{B - A}{2} < a_n < A + \frac{B - A}{2}, $$ 即 $$ A < a_n < \frac{A + B}{2}. $$ 由于$\{ a_n \}$收敛于$B$，存在正整数$N_2$，当$n > N_2$时，有 $$ |a_n - B| < \epsilon, $$ 即 $$ B - \epsilon < a_n N$时，有 $$ A < a_n < \frac{A + B}{2} < a_n < B. $$ 矛盾，所以 $$ A = B. $$ #### 定理2（有界性）收敛数列必定有界。证明：设$\{ a_n \}$收敛于$A$，则对$\epsilon = 1$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有 $$ |a_n - A| < 1, $$ 即 $$ A - 1 < a_n < A + 1. $$ 取$M = \max \{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_N|, |A - 1|, |A + 1|\}$，则对于一切$n \in \mathbb{N}$，都有 $$ |a_n| \leq M. $$ 故收敛数列有界。反之未必：有界数列不一定收敛。 #### 推论若数列无界，则必发散。 #### 定理3（保号性）若数列$\{ a_n \}$收敛于$A$，且$A \ne 0$，则存在正整数$N$，当$n > N$时，$a_n$与$A$同号。证明：不妨设$A > 0$，由$\{ a_n \}\)收敛于$A$，按照定义 $$ \forall \epsilon = \frac{A}{2}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon, $$ 即 $$ -\frac{A}{2} < a_n - A < \frac{A}{2}, $$ 即 $$ A - \frac{A}{2} < a_n < A + \frac{A}{2}, $$ 即 $$ \frac{A}{2} < a_n < \frac{3A}{2}. $$ 即当$n > N$时，$a_n$与$A$同号。 #### 推论若数列$\{ a_n \}$从某项起有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），且$\lim_{{n \to \infty}} a_n = $$，那么$A \geq 0$（或$A \leq 0$）。

导数是描述函数变化率的基本概念。
在本章节中，我们将学习导数的定义、求导规则以及导数的几何意义。
导数的定义：若函数 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处有定义，当 $ \Delta x \to 0 $ 时，若极限 \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \] 存在，则称 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处可导，且 $ f'(x) $ 称为 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处的导数。

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描述

目录

第1节 函数

一 函数的概念

1. 函数的定义

动手试一试：

🖥️函数扩展阅读

2. 区间与邻域

3. 函数的图形

4. 函数的四则运算

二、反函数与复合函数

1. 反函数

探究反函数

2. 复合函数

三、函数的几种性质

1. 单调性

2. 奇偶性

3. 有界性

4. 周期性

四、初等函数

1.基本初等函数

2.初等函数

1).双曲函数

2).初等函数应用

📒参与更多活动

练习

一 数列极限的概念

🧑‍💻数列极限探究

✍️练习题

二 收敛数列的性质

函数极限

四、初等函数

基本初等函数

初等函数

双曲函数

练习题 1

第2节 数列的极限

一 数列极限的概念

引例 “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

定义1（定义）

例2 证明 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1\)

例3 证明 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2\)

练习题

二 收敛数列的性质

定理1 （极限的唯一性）

定理2（有界性）

推论 若数列无界，则必发散。

定理3（保号性）

推论

三、函数极限的定义

一 自变量趋于无穷大时函数的极限

定义1

定义2

定义3

例1 证明 \(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0\)

练习题

例2 证明 \(\lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0\)

例3 讨论 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\)

定理1

例4 讨论 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x}\) 是否存在

例5 讨论 \(\lim_{{x \to 1}} \frac{1}{(x-1)^2}\) 是否存在

例6 讨论 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x^2}\) 是否存在

练习题

一 数列极限的概念

第1节函数

一函数的概念

一数列极限的概念

二收敛数列的性质

第2节数列的极限

一数列极限的概念

二收敛数列的性质

推论若数列无界，则必发散。

一自变量趋于无穷大时函数的极限

一数列极限的概念