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数列极限

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课程: 教育数学研究与AIGC应用
图书: 数列极限
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日期: 2025年04月30日 星期三 02:19

描述

定义学习

目录

1. 数列极限概念

🧑‍💻数列极限的定义及讲解

 数列极限的概念
       一个数列的极限是指，当数列的项数 \(n\) 越来越大时，数列的值逐渐接近一个确定的数值。这个确定的数值被称为数列的极限。如果这样的极限存在，我们称数列收敛于这个极限，否则称数列发散。
 🖥️例子：
        假设有一个数列，其通项公式为： \[ a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \] 随着 \(n\) 的增大，数列的项越来越小，并趋向于0。我们称0为该数列的极限，记作： \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 \]

♻️数列极限的定义（ε-N定义）
        对于数列 \(\{x_n\}\)，如果存在一个常数 \(a\)，并且对于任意给定的正数 \(\epsilon > 0\)，都存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，总有： \[ |x_n - a| < \epsilon \] 则称常数 \(a\) 为数列的极限，
        记作： \[ \lim_{n \to \infty} x_n = a \] 如果不存在这样的常数 \(a\)，则称该数列无极限，或者说该数列发散。

定义中的符号说明：
  • \(\forall \epsilon > 0\)：表示对于任意一个正数 \(\epsilon\)，无论它有多小。 - \(\exists N\)：表示存在一个正整数 \(N\)，使得对于所有 \(n > N\)，都满足 \(|x_n - a| < \epsilon\)。 换句话说，只要给定一个任意小的正数 \(\epsilon\)，总能找到一个足够大的正整数 \(N\)，使得从第 \(N\) 项开始，数列的项 \(x_n\) 和极限 \(a\) 之间的差值在 \(\epsilon\) 范围内。
直观解释：
  • 我们可以把极限理解为，当数列的项数 \(n\) 越来越大时，数列的值越来越接近某个常数 \(a\)，并且差距可以任意小。当数列的项无限接近于这个常数 \(a\) 时，称这个常数为数列的极限。
🗨️深入学习
🖥️例1： 证明： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 0 \]
证明：  给定任意一个正数 \(\epsilon > 0\)，我们需要找到一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，满足： \[ \left| \frac{1}{n(n+1)^2} - 0 \right| = \frac{1}{n(n+1)^2} < \epsilon \] 因为： \[ \frac{1}{n(n+1)^2} < \frac{1}{n} \] 所以当 \(n > \frac{1}{\epsilon}\) 时，有 \(\frac{1}{n} < \epsilon\)。因此可以取 \(N = \frac{1}{\epsilon}\)，当 \(n > N\) 时，满足： \[ \frac{1}{n(n+1)^2} < \epsilon \] 所以根据定义，\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 0\)。

🖥️例2： 证明： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \]
证明： 给定任意一个正数 \(\epsilon > 0\)，我们需要找到一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，满足： \[ \left| \frac{\sin n}{n} - 0 \right| = \frac{|\sin n|}{n} \leq \frac{1}{n} \] 因为 \(\left| \sin n \right| \leq 1\)，所以只需要： \[ \frac{1}{n} < \epsilon \] 即当 \(n > \frac{1}{\epsilon}\) 时，\(\frac{1}{n} < \epsilon\)。因此可以取 \(N = \frac{1}{\epsilon}\)，当 \(n > N\) 时，有： \[ \left| \frac{\sin n}{n} - 0 \right| < \epsilon \] 因此，\(\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0\)。

🎓总结：
  •  数列极限的定义基于数列的项无限接近于某个固定值。 
  •  ε-N定义是描述数列极限的标准方法，确保了数列的项和极限的差值可以被任意缩小。

1.1. 扩展阅读学习

🧑‍💻数列极限的定义及讲解

一个数列的极限是指，当数列的项数 \(n\) 越来越大时，数列的值逐渐接近一个确定的数值，这个确定的数值被称为数列的极限。

如果这样的极限存在，我们称数列收敛于这个极限，否则称数列发散。

假设有一个数列，其通项公式为：

\( a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n \)

随着 \(n\) 的增大，数列的项越来越小，并趋向于0。记作：

\( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0 \)

🧑‍💻数列极限的定义 (ε-N定义)

对于数列 \( \{x_n\} \)，如果存在一个常数 \( a \)，并且对于任意给定的正数 \( \epsilon > 0 \)，都存在一个正整数 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，总有：

\[ |x_n - a| < \epsilon \]

则称常数 \( a \) 为数列的极限，记作：

\[ \lim_{n \to \infty} x_n = a \]

✍️练习题

请判断以下数列是否有极限，如果有，请给出极限值：

  1. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} \)
  2. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3}{2n^2 + 1} \)

答案：

  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3}{2n^2 + 1} = \frac{1}{2} \)

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1.2. 计算下列极限

1. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2-1} = ? \):

2. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2-1} = ? \):

3. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 - 4n + 2} = ? \):

4. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} = ? \):

5. 输入 \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = ? \):

6. 计算入 \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = ? \):

7. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = ? \):

8. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = ? \):

9. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \cdot \ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />} = ? \):

10. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{e^n} = ? \):

11. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{2n^2 + 3n + 1} = ? \):

12. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = ? \):

13. 计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} = ? \):

题目解析

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1. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 - 1} = 0 \): 分母增长比分子快，趋向于 0。

2. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 - 1} = 1 \): 分子分母最高次项相同。

3. \( \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 - 4n + 2} = \frac{3}{5} \): 主项分析。

4. \( \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} = \infty \): 指数增长快于多项式。

5. \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \): 定义自然对数。

6. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = 0 \): 正弦函数有限，分母无限增长。

7. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = 0 \): 对数增长慢于线性函数。

8. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0 \): 阶乘增长比指数慢。

9. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \cdot \ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />} = 0 \): 对数函数增长慢。

10. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{e^n} = 0 \): 指数增长比多项式快。

11. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - n}{2n^2 + 3n + 1} = \frac{1}{2} \): 主项分析法。

12. \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \): 指数极限。

13. \( \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} = e \): 指数极限。

1.3. 观察图形

数列极限计算题

1. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \frac{2n+1}{n^2} \)：

公式：\( a_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{1^2} = 3 \)

题目解析 该数列的极限可以通过分子分母同时除以 \( n^2 \) 来计算： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} = 0 \]

2. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \frac{3^n}{n!} \)：

公式：\( a_1 = \frac{3^1}{1!} = 3 \)

题目解析 该数列的极限可以通过斯特林公式来近似计算，结果为： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} = 0 \]

3. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)：

公式：\( a_1 = \left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2 \)

题目解析 该数列趋近于 \( e \)： \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

4. 输入指数项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \frac{n^2}{n+1} \)：

公式：\( a_1 = \frac{1^2}{1+1} = 0.5 \)

题目解析 该数列的极限可以通过分子分母同时除以 \( n \) 来计算： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = n \to \infty \] 因此该数列发散。

5. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \frac{\\ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} \)：

公式：\( a_1 = \frac{\\ln(1)}{1} = 0 \)

题目解析 该数列的极限是通过洛必达法则计算得出： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = 0 \]

1.4. 数列表达式计算

数列极限计算问题

1. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \frac{2n+1}{n^2} \)：

公式：\( a_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{1^2} = 3 \)

题目解析 该数列的极限可以通过分子分母同时除以 \( n^2 \) 来计算： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} = 0 \]

2. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \frac{3^n}{n!} \)：

公式：\( a_1 = \frac{3^1}{1!} = 3 \)

题目解析 该数列的极限可以通过斯特林公式来近似计算，结果为： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} = 0 \]

3. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 \( a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)：

公式：\( a_1 = \left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2 \)

题目解析 该数列趋近于 \( e \)： \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

4. 输入指数项数 \( n \) 计算数列 \( a_n = \frac{n^2}{n+1} \)：

公式：\( a_1 = \frac{1^2}{1+1} = 0.5 \)

题目解析 该数列的极限可以通过分子分母同时除以 \( n \) 来计算： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = n \to \infty \] 因此该数列发散。

5. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列 a 下标 n 等于 分数 n 分之 ln n 结束分数：

公式：\( a_1 = \frac{\ln(1)}{1} = 0 \)

题目解析 该数列的极限是通过洛必达法则计算得出： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln<img class="icon emoticon" alt="否" title="否" src="http://124.221.211.9/theme/image.php/moove/core/1739398203/s/no" />}{n} = 0 \]

6. 输入数列项数 \( n \) 来计算数列bold italic a 下标 粗体字 n 等于 sin 左括号 n 右括号：

公式：\( a_1 = \sin(1) = 0.84 \)

题目解析 该数列的值可以通过直接计算 \( \sin否 \) 得出。由于 \( \sin否 \) 是周期函数，它的值会在 -1 和 1 之间循环。

1.5. 数列知识中的概念表达

  1. 选择一个数列的性质：


2.选择一个数列的性质：


3.选择一个数列的性质：


4.选择一个数列的性质：

5.选择一个数列的性质：

6.选择一个数列的性质：

选择一个数列的性质：

1.6. 交互

数列极限的定义及讲解

数列极限的定义及讲解

一个数列的极限是指，当数列的项数 \(n\) 越来越大时，数列的值逐渐接近一个确定的数值，这个确定的数值被称为数列的极限。

如果这样的极限存在，我们称数列收敛于这个极限，否则称数列发散。

假设有一个数列，其通项公式为：

\( a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n \)

随着 \(n\) 的增大，数列的项越来越小，并趋向于0。记作：

\( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0 \)

数列极限的定义 (ε-N定义)

对于数列 \( \{x_n\} \)，如果存在一个常数 \( a \)，并且对于任意给定的正数 \( \epsilon > 0 \)，都存在一个正整数 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，总有：

\( |x_n - a| < \epsilon \)

则称常数 \( a \) 为数列的极限，记作：

\( \lim_{n \to \infty} x_n = a \)

练习题

请判断以下数列是否有极限，如果有，请给出极限值：

  1. \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} \)
  2. \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3}{2n^2 + 1} \)

答案：

  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3}{2n^2 + 1} = \frac{1}{2} \)

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1.7. 交互


1.8. 选择题与连线题

自测题

选择题

数列 \( a_n = \frac{1}{n} \) 的极限是多少？

  1. A. \( \infty \)
  2. B. \( 0 \)
  3. C. \( 1 \)
  4. D. 不存在

正确答案: B. \( 0 \)

连线题

将数列与它们的极限值进行匹配：

数列极限值
\( a_n = \frac{1}{n} \)A. \( 0 \)
\( a_n = n^2 \)B. \( \infty \)
\( a_n = \frac{2n + 1}{3n + 2} \)C. \( \frac{2}{3} \)
\( a_n = (-1)^n \)D. 发散

正确答案: A, B, C, D


1.9. 数列极限学习测试

数列极限测试题

数列极限测试题

问题 1: 极限的定义

请选择正确的极限定义：

正确答案：对于任何 ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，|a_n - L| < ε

解释：

这个定义描述了数列 \(\\{a_n\\}\) 收敛到极限 L 的含义。它表示当 n 足够大时，数列的项与极限值的差的绝对值可以任意小。

知识点：

  • ε-N 语言：用于精确描述极限的数学语言
  • 数列收敛的直观理解：数列的项无限接近某个固定值
  • 绝对值：|a_n - L| 表示 a_n 与 L 之间的距离

问题 2: 计算极限

计算以下极限：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n + 2}{2n^2 + 1} \]

极限值为 1/2。

解答过程：

  1. 分子和分母都除以 n^2（最高次项）： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2/n^2 + 3n/n^2 + 2/n^2}{2n^2/n^2 + 1/n^2} \]
  2. 化简： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3/n + 2/n^2}{2 + 1/n^2} \]
  3. 当 n 趋向无穷时，1/n 和 1/n^2 趋向于 0： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \]

知识点：

  • 极限的计算技巧：分子分母同除以最高次项
  • 无穷大与无穷小的关系：当 n 趋向无穷时，1/n 和 1/n^2 趋向于 0
  • 有理函数的极限：分子分母的最高次项决定极限值

问题 3: 数列的收敛性

判断以下数列是否收敛：

\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n} \]

答案：该数列收敛。

解释：

  1. 这是一个交错数列，可以写成 \((-1)^n \cdot \frac{1}{n}\)
  2. 应用莱布尼茨判别法：
    • \(\frac{1}{n}\) 单调递减且趋向于 0
    • 符号在正负间交替变化
  3. 因此，该数列收敛

知识点：

  • 交错数列：正负项交替出现的数列
  • 莱布尼茨判别法：判断交错级数收敛性的重要方法
  • 绝对收敛与条件收敛：该数列是条件收敛的

问题 4: 夹逼准则

使用夹逼准则计算以下极限：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} \]

极限值为 0。

解答过程：

  1. 利用不等式：-1 ≤ sin n ≤ 1
  2. 两边同除以 n（n > 0）：-1/n ≤ sin n / n ≤ 1/n
  3. 当 n 趋向无穷时，-1/n 和 1/n 都趋向于 0
  4. 根据夹逼准则，sin n / n 也必须趋向于 0

知识点：

  • 夹逼准则：如果对于足够大的 n，g否 ≤ f否 ≤ h否，且 lim g否 = lim h否 = L，则 lim f否 = L
  • 三角函数的性质：sin n 的值域为 [-1, 1]
  • 无穷小量：1/n 是比 sin n 更快趋于 0 的无穷小量

问题 5: 考研难度的数列极限

计算以下极限：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{n^2}{n^2 + 1}\right) \]

极限值为 \(\frac{\pi}{2}\)。

解答过程：

  1. 观察到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1\)
  2. 设 \(x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{n^2}{n^2 + 1}\)，则当 n → ∞ 时，x → \(\frac{\pi}{2}\)
  3. 原式可以改写为：\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(\frac{2}{\pi}x)^2}\)
  4. 应用洛必达法则： \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\frac{4}{\pi^2}x} = \frac{\pi^2}{4} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x} = \frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{0}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \]

知识点：

  • 等价无穷小代换：\(\sin x \sim x\)（当 x → 0 时）
  • 复合函数的极限：内层函数的极限决定外层函数的极限
  • 洛必达法则：适用于 0/0 型和 ∞/∞ 型的极限
  • 三角函数的极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

问题 6: 极限的应用

一个球从 10 米高处落下，每次弹起高度为前一次的 80%。求球运动的总距离。

球运动的总距离为 90 米。

解答过程：

  1. 设初始高度为 h = 10 米，弹起系数为 r = 0.8
  2. 第 n 次落地后的总距离：S_n = h(1 + r + r^2 + ... + r^(n-1)) * 2 - h
  3. 当 n 趋向无穷时，括号内是一个等比数列的和：\(\frac{1-r^n}{1-r}\)
  4. 极限情况下，r^n → 0，所以总距离的极限为： \[ S = \lim_{n \to \infty} S_n = h \cdot \frac{1}{1-r} \cdot 2 - h = 10 \cdot \frac{1}{1-0.8} \cdot 2 - 10 = 90 \]

知识点：

  • 无穷等比级数：当 |r| < 1 时，\(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}\)
  • 极限的实际应用：物理问题中的无穷过程
  • 几何级数：描述具有固定比率的重复过程

2. 数列极限性质（进阶）







2.1. 数列极限唯一性



2.2. 数列极限有界性




2.3. 数列极限保号性



2.4. 收敛数列子列收敛定理交互式学习