拉格朗日中值定理

构造函数 \( g(x) \)

在证明拉格朗日中值定理时，常通过构造辅助函数来分析问题。设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续且在 \((a, b)\) 内可导，我们定义：

\[ g(x) = f(x) - \left( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot (x - a) + f(a) \right) \]

此处，\( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \) 是函数 \( f(x) \) 的平均变化率。函数 \( g(x) \) 具有以下性质：

1. \( g(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续且在 \((a, b)\) 内可导；
2. 在区间两端点满足 \( g(a) = g(b) = 0 \)。

验证罗尔定理的条件

根据辅助函数 \( g(x) \) 的构造，它在区间 \([a, b]\) 上满足罗尔定理的条件。试通过以下拖拽题验证：

补充练习

尝试构造类似的函数 \( g(x) \)，证明以下结论：

• \( h(x) = x^2 - 3x + 2 \) 在 \([1, 2]\) 上是否符合罗尔定理？
• \( k(x) = \sin(x) \) 在 \([0, \pi]\) 上至少有一个零点存在，证明方式与构造函数如何一致？

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