导数的数学史演进

欧几里得在《几何原本》中建立了几何学公理化体系，为后续数学发展奠定基础。

几何作图方法

发展了穷竭法，这是微积分的早期雏形。

\[\text{曲线下面积} = \lim_{n \to \infty} \sum \text{小矩形面积}\]

发展了求极值的方法，被认为是微积分的先驱之一。

\[\text{切线斜率} \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

发展了流数概念，建立了微积分的系统理论。

\[\dot{x} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

独立发展了微积分，创造了现代使用的导数符号。

\[\frac{d}{dx}f(x)\]

系统化了微积分理论，发展了多变量微积分。

\[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\]

建立了极限的严格定义，使微积分更加严密。

\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]

建立了现代分析的严格基础。

\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0\]

导数的数学定义

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]

幂函数导数：

\[\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\]

指数函数导数：

\[\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\]

三角函数导数：

\[\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\] \[\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x\]

速度与加速度： \[v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}\]

边际成本： \[MC = \frac{dTC}{dQ}\]

选择函数：

自定义函数：

输入 x 值：