高阶导数交互学习

指数函数高阶导数中等

问题 1.1

计算 \( \frac{d^n}{dx^n}(xe^{x}) \) 的高阶导数。

解答步骤：

使用莱布尼茨法则：\( \frac{d^n}{dx^n}(xe^x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{d^k}{dx^k}(x) \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}(e^x) \)
\( \frac{d^k}{dx^k}(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } k = 1 \\ 0 & \text{if } k > 1 \end{cases} \)
\( \frac{d^m}{dx^m}(e^x) = e^x \) 对任意 m
因此，\( \frac{d^n}{dx^n}(xe^x) = ne^x + xe^x \)

交互练习

尝试输入 n 的值，计算 \( \frac{d^n}{dx^n}(xe^{x}) \) ：

多项式高阶导数简单

问题 2.1

求 \( \frac{d^n}{dx^n}(x^m) \) 的一般表达式，其中 m ≥ n。

解答：

\( \frac{d^n}{dx^n}(x^m) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^{m-n} \)
或写作：\( \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} \)
当 m < n 时，结果为 0

三角函数高阶导数中等

定理：正弦和余弦的高阶导数

正弦函数的高阶导数遵循以下规律：

\[ \frac{d^n}{dx^n}\sin x = \sin(x + n\frac{\pi}{2}) \]

余弦函数的高阶导数遵循以下规律：

\[ \frac{d^n}{dx^n}\cos x = \cos(x + n\frac{\pi}{2}) \]

问题 3.1

求 \( \frac{d^4}{dx^4}(\sin x\cos x) \)

使用莱布尼茨法则：\[ \frac{d^4}{dx^4}(\sin x\cos x) = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} \frac{d^k}{dx^k}(\sin x) \frac{d^{4-k}}{dx^{4-k}}(\cos x) \]
列出各阶导数：
- \( \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \)
- \( \frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x \)
- \( \frac{d^3}{dx^3}\sin x = -\cos x \)
- \( \frac{d^4}{dx^4}\sin x = \sin x \)
最终结果：\[ \frac{d^4}{dx^4}(\sin x\cos x) = -16\sin x\cos x \]

泰勒级数困难

泰勒级数定义

函数 f(x) 在点 a 处的泰勒级数展开式为：

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

当 a = 0 时，称为麦克劳林级数。

问题 4.1

求 \( \sin x \) 在 x = 0 处的泰勒展开式（前5项）。

计算在 x = 0 处的各阶导数：
- \( f(0) = 0 \)
- \( f'(0) = 1 \)
- \( f''(0) = 0 \)
- \( f'''(0) = -1 \)
- \( f^{(4)}(0) = 0 \)
代入泰勒公式：
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

莱布尼茨法则困难

莱布尼茨法则

对于两个函数 u(x) 和 v(x) 的乘积，其n阶导数为：

\[ \frac{d^n}{dx^n}[u(x)v(x)] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{d^k}{dx^k}u(x) \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}v(x) \]

问题 5.1

使用莱布尼茨法则求 \( \frac{d^3}{dx^3}(x^2e^x) \)

应用莱布尼茨法则：\[ \frac{d^3}{dx^3}(x^2e^x) = \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k} \frac{d^k}{dx^k}(x^2) \frac{d^{3-k}}{dx^{3-k}}(e^x) \]
计算 \(x^2\) 的各阶导数：
- \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \)
- \( \frac{d^2}{dx^2}(x^2) = 2 \)
- \( \frac{d^3}{dx^3}(x^2) = 0 \)
代入计算：\[ (x^2 + 6x + 6)e^x \]

综合练习困难

综合练习 1

证明对于任意函数 f(x)，下列等式成立：

\[ \frac{d^n}{dx^n}(e^{ax}f(x)) = e^{ax}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}f^{(k)}(x) \]

证明思路：

使用数学归纳法证明：
- 基础情况：n = 1 时验证
- 假设 n = k 时成立
- 证明 n = k + 1 时也成立
利用组合数的性质：\( \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \)

综合练习 2

求函数 \( f(x) = x^3\sin x \) 的第四阶导数在 x = 0 处的值。

使用莱布尼茨法则：\[ \frac{d^4}{dx^4}(x^3\sin x) = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} \frac{d^k}{dx^k}(x^3) \frac{d^{4-k}}{dx^{4-k}}(\sin x) \]
计算 \(x^3\) 的导数在 x = 0 处的值：
- \( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 \)
- \( \frac{d^2}{dx^2}(x^3) = 6x \)
- \( \frac{d^3}{dx^3}(x^3) = 6 \)
- \( \frac{d^4}{dx^4}(x^3) = 0 \)
代入计算得到：0

综合练习 3

若函数 f(x) 满足 \( f''(x) + f(x) = 0 \)，且 f(0) = 1，f'(0) = 0，求 \( f^{(2024)}(0) \)。

观察可知，f(x) 满足二阶常系数线性微分方程
由初始条件可知 f(x) = cos(x)
cos(x) 的高阶导数具有周期性：每4阶循环一次
2024 ÷ 4 = 506 余 0
因此 \( f^{(2024)}(0) = 1 \)

指数函数高阶导数 中等