第1步：引入问题
我们要计算函数 \( y = x^n \) 在 \( x_0 \) 处的导数，\( n \) 是正整数。
请问导数的定义是什么？
第2步：代入具体函数
根据定义，导数可以表示为：
\[ y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x_0 + \Delta x)^n - x_0^n}{\Delta x} \]
现在，我们需要展开 \( (x_0 + \Delta x)^n \)，你认为应该如何展开？
第3步：展开结果
使用二项式定理展开后，我们得到：
\[ (x_0 + \Delta x)^n = x_0^n + n x_0^{n-1} \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!} x_0^{n-2} (\Delta x)^2 + \cdots \]
观察这个展开式，哪些项在求极限时最重要？
第4步：计算极限
将展开式代入原式：
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x_0^n + n x_0^{n-1} \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!} x_0^{n-2} (\Delta x)^2 + \cdots - x_0^n}{\Delta x} \]
化简后的结果应该是：
总结
恭喜你完成了整个推导过程！我们得到了重要的结论：
\[ (x^n)' = nx^{n-1} \]
这就是幂函数求导的一般公式。你可以用这个公式来求任何幂函数的导数。