例5 求函数 $ f(x) = a^x $ ($ a > 0, a \neq 1 $)的导数。
解：$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = a^x \ln a $.
特别地，$ \left(e^x\right)' = e^x $.