可导必连续定理的详细证明与理解

关键概念

1. 函数的连续性定义：
   \[\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\]
2. 函数的可导性定义：
   \[\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)\]

知识点测试

1. 函数在某点连续的定义是什么？

2. 函数的可导性定义是什么？

可导必连续定理

可导必连续定理的表述为：如果一个函数在某一点可导，那么它在该点必定连续。具体地，如果在点 \(a\) 处函数 \(f(x)\) 可导，则函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 也必须连续。

定理的证明

为了证明可导必连续定理，我们需要展示在点 \(a\) 处可导即意味着函数在该点连续。假设函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 处可导，即存在：

根据导数定义，极限存在且等于某个常数 \(f'(a)\)。我们需要证明：

使用增量表示，可以将函数值的增量 \( f(a + \Delta x) - f(a) \) 重写为：

两边取极限，得到：

因为 \( \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x \cdot f'(a)) = 0 \) 和 \( \lim_{\Delta x \to 0} o(\Delta x) = 0 \)，所以我们得到：

因此，\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)，从而证明了 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处连续。

定理的理解检验

请根据以下问题检查自己对“可导必连续定理”的理解：