泰勒公式探索之旅

与泰勒先生一起探索函数逼近的奥秘

第一幕：初遇泰勒

泰勒：欢迎来到1715年的剑桥！让我们一起探索函数逼近的奥秘。

泰勒：“无穷的远方，无数的人们，都和我有关。”

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思考问题1：为什么计算器坏了，我们依然能计算出 \(\sin(0.1)\) 的值？

这是因为我们可以使用泰勒展开来逼近函数。在 \(x=0\) 处展开：

\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\]

代入 \(x=0.1\)，取前几项就能得到很好的近似值。

第二幕：深入探索

几何意义
代数推导
应用实例
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探究问题：观察切线与函数的关系，你发现了什么？

1. 一阶泰勒多项式就是函数在展开点处的切线

2. 随着阶数增加，泰勒多项式与原函数的拟合程度越来越好

3. 泰勒多项式在展开点附近的拟合效果最好，越远越差

泰勒公式的代数推导

1. 推导思路

假设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的邻域内有任意阶导数，我们寻找一个多项式 \(P_n(x)\)，使得： \[f(x) \approx P_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots + a_n(x-x_0)^n\]

2. 系数确定

在 \(x = x_0\) 处，有： \[f(x_0) = a_0\] \[f'(x_0) = a_1\] \[f''(x_0) = 2!a_2\] \[\vdots\] \[f^{(n)}(x_0) = n!a_n\]

3. 泰勒公式

因此，n阶泰勒多项式为： \[P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]

实际应用案例

案例1：科学计算器的实现

计算 \(e^{0.1}\) 的过程：

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\] 代入 \(x = 0.1\)： \[e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} + \frac{0.0001}{24} \approx 1.10517\]

案例2：物理中的简谐运动

小角度摆动时，正弦函数的近似：

\[\sin \theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6}\] 这就是为什么小角度摆动时，单摆近似为简谐运动的原因。

案例3：工程误差分析

截断误差估计：

拉格朗日余项： \[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\] 其中 \(\xi\) 在 \(x_0\) 与 \(x\) 之间。

第三幕：实践应用

工程师：泰勒先生，我们遇到了一个实际问题：如何用最少的计算资源得到足够精确的近似值？

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工程问题：如何在计算资源有限的情况下，选择合适的泰勒展开阶数？

需要考虑以下因素：

  1. 确定所需的精度范围
  2. 分析计算区间的大小
  3. 评估误差的可接受程度
  4. 考虑计算资源的限制

通常的策略是：

  1. 从低阶开始尝试，逐步增加阶数
  2. 计算误差随阶数的变化趋势
  3. 找到误差与计算量的平衡点

第四幕：泰勒公式计算极限

例题1：基础应用

求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^2}\]

思路提示：对\(sin (x)\)和\(cos (x)\)分别进行泰勒展开

将sin x展开到x的（ ）阶

\(sin (x)\)的展开式：

\(x\)
\(-\frac{x^3}{6}\)
\(+o(x^3)\)

例题2：综合应用

求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x\sin x - x}{x^3}\]

第一步：展开\(e^x\)到（

）阶

考虑最终结果中\(x\)的最高次数

例题3：高阶应用

求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)-\sin x}{x^3}\]

选择正确的解题策略：

只需要展开到二阶项
需要展开到三阶项
需要展开到四阶项

课后习题

1. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^4}\]

2. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - 1}{x^2}\]

3. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \arctan x}{x^3}\]

4. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1 - x}{x^2}\]

5. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4}\]