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理解函数的定义与表示方法
掌握函数的定义、表示方法，熟悉定义域和值域的概念
掌握函数的基本性质
理解函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质
理解复合函数与反函数
掌握复合函数的构造方法和反函数的性质
熟悉初等函数
掌握常见初等函数的性质和图像特征
函数是描述两个变量之间对应关系的数学概念。给定一个非空数集 \(D\)，若对于 \(D\) 中的任意一个数 \(x\)，按照某个确定的对应关系，总有唯一确定的数值 \(y\) 与之对应，则称这种对应关系为定义在 \(D\) 上的函数，记作 \(y = f(x)\)，其中 \(x\) 是自变量，\(y\) 是因变量，\(D\) 称为函数的定义域。
自变量 \(x\) 所有可能取值的集合，记作 \(D_f\) 或 \(D\)
将定义域中的每个元素 \(x\) 映射到唯一的值 \(y\) 的规则
函数所有可能的函数值构成的集合，记作 \(R_f\) 或 \(R\)
函数可以通过多种方式表示：
用数学表达式表示函数关系
例：\(f(x) = x^2 + 2x - 1\)
用表格形式列出自变量和因变量的对应值
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(3\) | \(0\) | \(-1\) | \(2\) | \(7\) |
在坐标系中用曲线表示函数关系
用文字描述函数关系
例：一个物体从高处自由落下，其下落距离与时间的平方成正比。
函数定义域是函数自变量所有可能取值的集合。在确定函数定义域时，需要考虑以下几种情况：
对于分式函数，分母不能为零
偶次根式的被开方数必须非负
对数的底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0
某些函数有特定的定义域
确定函数定义域时，需要综合考虑所有限制条件，取它们的交集。对于分式函数，还需要考虑分子分母的公因式约分可能导致的间断点。
求函数 \(f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\) 的定义域。
解析：
由于分母不能为零，所以 \(x \neq 2\)。
进一步分析，我们可以将函数化简：
因此，函数的定义域为 \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)，即除了 \(x = 2\) 以外的所有实数。
注意：虽然通过约分，函数表达式变为 \(x+2\)，但由于原始表达式在 \(x = 2\) 处无定义，所以 \(x = 2\) 仍然不属于定义域。
求函数 \(f(x) = \sqrt{\ln(4-x^2)}\) 的定义域。
解析：
这个函数包含两个限制条件：
从第二个条件得到：\(4-x^2 > 0 \Rightarrow -2 < x < 2\)
从第一个条件得到：\(\ln(4-x^2) \geq 0 \Rightarrow 4-x^2 \geq 1 \Rightarrow -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}\)
取两个条件的交集，得到函数的定义域为 \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)。
函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，区间 \(I \subset D\)。
若对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1 < x_2\)，都有：
则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调递增。
若对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1 < x_2\)，都有：
则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调递减。
若对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1 < x_2\)，都有：
则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上严格单调递增。
若对于区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1 < x_2\)，都有：
则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上严格单调递减。
对于可导函数，可以通过导数判断函数的单调性：
函数的奇偶性是指函数关于原点或 y 轴的对称性。设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称（即 \(x \in D\) 时，\(-x \in D\)）。
若对于任意 \(x \in D\)，都有：
则称 \(f(x)\) 为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
若对于任意 \(x \in D\)，都有：
则称 \(f(x)\) 为偶函数。
偶函数的图像关于 y 轴对称。
函数的周期性描述了函数值按一定间隔重复出现的特性。设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)。
若存在正数 \(T\)，使得对于任意 \(x \in D\)，都有 \(x + T \in D\) 且：
则称 \(f(x)\) 为周期函数，\(T\) 称为 \(f(x)\) 的一个周期。
函数的有界性描述了函数值的范围是否有限。设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，区间 \(I \subset D\)。
若存在常数 \(M > 0\)，使得对于任意 \(x \in I\)，都有：
则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有界。
若对于任意常数 \(M > 0\)，总存在 \(x_0 \in I\)，使得：
则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上无界。
复合函数是由两个或多个函数通过复合运算构成的新函数。设函数 \(y = f(u)\) 的定义域为 \(D_f\)，函数 \(u = g(x)\) 的定义域为 \(D_g\)，值域为 \(R_g\)。如果 \(R_g \cap D_f \neq \emptyset\)，则可以构成复合函数 \(y = f[g(x)]\)，记作 \(f \circ g\)。
复合函数 \(f \circ g\) 的定义域是 \(D_g\) 中满足 \(g(x) \in D_f\) 的所有 \(x\) 的集合，即：
设 \(f(x) = x^2\) 和 \(g(x) = \sin x\)，求复合函数 \(f[g(x)]\) 和 \(g[f(x)]\)。
解析：
\(f[g(x)] = f(\sin x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x\)
\(g[f(x)] = g(x^2) = \sin(x^2)\)
可以看出，\(f[g(x)] \neq g[f(x)]\)，验证了复合运算一般不满足交换律。
反函数是将函数的自变量和因变量互换后得到的新函数。设函数 \(y = f(x)\) 的定义域为 \(D_f\)，值域为 \(R_f\)。如果对于每个 \(y \in R_f\)，都存在唯一的 \(x \in D_f\) 使得 \(f(x) = y\)，则称函数 \(f(x)\) 存在反函数，记作 \(f^{-1}(y)\)。
函数 \(f(x)\) 存在反函数的充要条件是 \(f(x)\) 是单射，即对于任意 \(x_1, x_2 \in D_f\)，如果 \(x_1 \neq x_2\)，则 \(f(x_1) \neq f(x_2)\)。
严格单调函数一定存在反函数。
求函数 \(f(x) = 2x^3 + 1\) 的反函数。
解析：
设 \(y = 2x^3 + 1\)，则：
\(y - 1 = 2x^3\)
\(x^3 = \frac{y - 1}{2}\)
\(x = \sqrt[3]{\frac{y - 1}{2}}\)
所以，反函数为 \(f^{-1}(y) = \sqrt[3]{\frac{y - 1}{2}}\)。
将自变量换回 \(x\)，得到 \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x - 1}{2}}\)。
基本初等函数是构成其他复杂函数的基础，包括以下几类：
定义域：
特例：
条件：\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
定义域：\(\mathbb{R}\)
值域：\((0, +\infty)\)
性质：
条件：\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
定义域：\((0, +\infty)\)
值域：\(\mathbb{R}\)
性质：
主要函数：
性质：
主要函数：
性质：
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的函数。常见的初等函数包括：
由多项式函数通过四则运算得到的函数，可表示为两个多项式的比：
其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式，且 \(Q(x) \neq 0\)。
含有根式的函数，例如：
不是代数函数的函数，包括指数函数、对数函数、三角函数等，例如：
由基本初等函数通过复合得到的函数，例如：
函数在现实世界中有着广泛的应用。以下是一些典型的应用场景：
物体自由落体运动的距离与时间关系：
其中 \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\) 是重力加速度。
复利计算中本金与时间的关系：
其中 \(P\) 是本金，\(r\) 是年利率，\(t\) 是年数。
种群增长模型（逻辑斯蒂函数）：
其中 \(K\) 是环境容纳量，\(r\) 是增长率，\(A\) 和 \(t\) 分别是常数和时间。
简谐振动的位移与时间关系：
其中 \(A\) 是振幅，\(\omega\) 是角频率，\(\phi\) 是初相位。
函数是描述两个变量之间对应关系的数学概念，包含定义域、对应关系和值域三要素
函数的主要性质包括单调性、奇偶性、周期性和有界性
复合函数是由两个或多个函数通过复合运算构成的新函数，需要注意定义域的确定
反函数是将函数的自变量和因变量互换后得到的新函数，严格单调函数一定存在反函数
确定函数定义域时需考虑分母不为零、偶次根号内非负、对数的底数和真数等条件
复合函数定义域的确定需要考虑内层函数值域与外层函数定义域的交集
函数必须是单射（严格单调）才存在反函数，需注意反函数的定义域和值域
函数可能同时具有多种性质，需要综合分析判断，特别是复合函数和分段函数
利用函数的奇偶性、单调性等性质可以简化计算和判断
绘制函数图像有助于直观理解函数性质和解题思路
掌握平移、伸缩、对称等基本变换规律，简化复杂函数的分析
求函数 \(f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}\) 的定义域和表达式。
正确答案：B
分析：由于分母不能为零，所以 \(x \neq 3\)。进一步分析，我们可以将函数化简： \[f(x) = \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3, \quad x \neq 3\] 因此，函数的定义域为 \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)，函数表达式为 \(f(x) = x+3\)。
判断函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 的奇偶性。
正确答案：A
分析：计算 \(f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)\)。 因为 \(f(-x) = -f(x)\)，所以 \(f(x)\) 是奇函数。
求函数 \(f(x) = \ln(2x+3)\) 的反函数。
正确答案：A
分析：设 \(y = \ln(2x+3)\)，则 \(e^y = 2x+3\)，解得 \(x = \frac{e^y-3}{2}\)。 将 \(y\) 换回 \(x\)，得到反函数 \(f^{-1}(x) = \frac{e^x-3}{2}\)。
设 \(f(x) = \sqrt{x}\) 和 \(g(x) = x^2-1\)，求复合函数 \((f \circ g)(x)\) 的定义域。
正确答案：B
分析：\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2-1) = \sqrt{x^2-1}\)。 由于平方根内的表达式必须非负，所以 \(x^2-1 \geq 0\)，解得 \(x^2 \geq 1\)，即 \(x \leq -1\) 或 \(x \geq 1\)。 因此，复合函数的定义域为 \((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\)。