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高等数学
函数与极限
数列极限
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1.2 数列极限

极限思想的历史渊源

古希腊的穷竭法

极限思想的萌芽可以追溯到公元前 5 世纪的古希腊。数学家安蒂丰提出"穷竭法"，欧多克斯进一步完善该方法。公元前 3 世纪，阿基米德在《论球和圆柱》一书中使用"穷竭法"，通过无限逼近的思路建立重要命题，这包含了极限思想的雏形。

阿基米德的贡献

阿基米德在研究曲线下面积时，提出了一个创新的方法：将曲线分割成无数个细小的三角形（矩形），通过计算所有三角形（矩形）面积之和来逼近曲线下面积。当分割越细时，这个逼近值就越接近真实面积。这个思想成为了现代极限理论的基础。

中国古代的极限思想

在东方，春秋战国时期的思想家惠施独立提出了类似极限的概念。他在研究无穷小量时，使用"取穷"的方法，这与极限思想异曲同工。后来的数学家如刘徽、祖冲之等人在计算圆周率时，也运用了类似的无限逼近思想。

现代极限理论的形成

这些古代数学家的思想为现代极限理论奠定了基础。通过几千年的发展，数学家们逐步完善了极限的概念，直到 19 世纪才由柯西等人给出了严格的数学定义，使极限理论成为了现代数学分析的基石。

学习目标

  • 理解数列极限的定义及其几何意义
  • 掌握数列极限的四则运算法则
  • 掌握数列极限的夹逼准则和单调有界准则
  • 能够计算常见数列的极限

知识点导航

数列极限的定义 数列极限的性质 数列极限的计算 特殊数列的极限

数列极限的定义

如果存在常数 A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n > N 时，不等式 |an - A| < ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列 {an} 的极限，或者称数列 {an} 收敛于 A，记作：

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = A \quad \text{或} \quad a_n \to A \quad (n \to \infty) \]

这个定义也可以用 ε-N 语言表述：对于任意给定的 ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 |an - A| < ε。

几何意义

数列极限的几何意义是：当 n 充分大时，数列的项 an 无限接近于极限值 A。具体来说，在数轴上，an 最终会落在以 A 为中心，长度为 2ε 的区间 (A-ε, A+ε) 内。

注意

数列极限的定义要求从某项开始，数列的所有项都要落在极限值附近的区间内。这与函数极限不同，函数极限只要求自变量在某个去心邻域内时，函数值落在极限值附近的区间内。

例题 1.2.1

证明数列 \( \{a_n\} = \{\frac{n}{n+1}\} \) 的极限是 1。

解

对于任意给定的 ε > 0，我们需要找到正整数 N，使得当 n > N 时，有 |an - 1| < ε。

\[ \left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{n-n-1}{n+1}\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1} \]

要使 \( \frac{1}{n+1} < \varepsilon \)，即 \( n+1 > \frac{1}{\varepsilon} \)，所以 \( n > \frac{1}{\varepsilon} - 1 \)。

取 \( N = \left[\frac{1}{\varepsilon}\right] \)（即不小于 \( \frac{1}{\varepsilon} \) 的最小整数），则当 n > N 时，有 |an - 1| < ε。

因此，根据数列极限的定义，\( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \)。

数列极限的性质

1. 唯一性

如果数列 {an} 收敛，那么它的极限唯一。

2. 有界性

如果数列 {an} 收敛，那么数列 {an} 一定有界，即存在正数 M，使得对于任意的 n，都有 |an| ≤ M。

3. 保号性

如果 \( \lim_{n \to \infty} a_n = A \)，且 A > 0（或 A < 0），则存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 an > 0（或 an < 0）。

4. 四则运算法则

如果 \( \lim_{n \to \infty} a_n = A \)，\( \lim_{n \to \infty} b_n = B \)，那么：

\[ \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B \] \[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0) \]

5. 夹逼准则（三明治定理）

如果对于所有的 n ≥ n0，有 an ≤ bn ≤ cn，且 \( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A \)，则 \( \lim_{n \to \infty} b_n = A \)。

6. 单调有界准则

单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。

重要结论

收敛数列的必要条件是有界，但有界不是收敛的充分条件。例如，数列 {(-1)n} 有界但不收敛。

数列极限的计算

常见的极限

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 \quad (p > 0) \] \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0) \] \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \] \[ \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \approx 2.71828... \]

计算方法

  1. 直接代入法：对于简单的数列，可以直接将 n→∞ 代入表达式。
  2. 四则运算法则：利用已知极限的四则运算。
  3. 夹逼准则：对于难以直接计算的极限，可以寻找上下界。
  4. 单调有界准则：证明数列单调且有界，从而确定其收敛性。
  5. 等价无穷小替换：对于形如 0/0 型的极限，可以使用等价无穷小代换。

例题 1.2.2

计算数列 \( \{a_n\} = \{(1 + \frac{2}{n})^n\} \) 的极限。

解

我们可以将给定数列变形：

\[ \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = \left[\left(1 + \frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2 \]

令 m = n/2，则当 n→∞ 时，m→∞，所以：

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = \lim_{m \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^2 = e^2 \]

因此，\( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = e^2 \approx 7.3891 \)。

特殊数列的极限

1. 等比数列

对于等比数列 {arn-1}，当 |r| < 1 时，\( \lim_{n \to \infty} ar^{n-1} = 0 \)；当 |r| ≥ 1 时，数列不收敛（除非 r = 1 且 a = 0）。

2. 递推数列

对于形如 an+1 = f(an) 的递推数列，如果存在极限 A，则 A 满足方程 A = f(A)。

3. 分式数列

对于形如 \( \frac{P_n(x)}{Q_n(x)} \) 的分式数列，其中 Pn(x) 和 Qn(x) 是 x 的多项式，极限通常由最高次项的比值决定。

常见错误

在计算数列极限时，常见的错误包括：

  • 忽略收敛的必要条件（有界性）
  • 错误地应用四则运算法则（如对不收敛的数列）
  • 在使用夹逼准则时，没有正确证明不等式关系

练习题

练习 1

计算数列 \( \{a_n\} = \{\frac{3n^2+2n+1}{2n^2+5n+3}\} \) 的极限。

练习 2

数列 {an} 满足 a1 = 1，an+1 = \( \frac{1}{2}(a_n + \frac{2}{a_n}) \) (n ≥ 1)。证明该数列收敛并求其极限。

练习 3

计算极限 \( \lim_{n \to \infty} \frac{1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3}{n^4} \)。

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