函数导数与微分

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果极限

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称此极限为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}$。

导数的几何意义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率。

导数的物理意义

如果 $s = f(t)$ 是物体运动的位移函数，那么导数 $v = f'(t)$ 表示物体在 $t$ 时刻的瞬时速度。

单侧导数

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数定义为：

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的右导数定义为：

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等。

可导性与连续性的关系

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处必定连续。但反之不然，即函数在某点连续不一定在该点可导。