高等数学云教材

第1节 函数

高等数学主要以变化的量（即变量）为基本研究对象，而变量与变量之间的依赖关系就是下面要介绍的函数的概念。

 一 函数的概念

1.探究1：物体假设从10m处降落，试求物体落地静止经历了多长时间？并画出函数图像。                    

2.探究2：物体假设从10m处降落，若物体落地反弹到每次降落高度的一半处，问物体静止经历了多长时间？(假设反弹时间与降落时间一样)

1. 函数的定义

👨‍💻定义1 设 \( D \) 为一非空数集，若存在一个对应法则 \( f \)，使得对于每一个 \( x \in D \)，按对应法则 \( f \)，有唯一确定的数 \( y \) 与之对应，则称 \( y \) 是定义在 \( D \) 上的一个函数，记作 \( y = f(x) \)。称 \( x \) 为自变量，\( y \) 为因变量，\( D \) 为函数的定义域，记为 \( \mathrm{Dom}(f) \)，\( f(x) \) 的全体所成的数集称为函数的值域，记为 \( \mathrm{Ran}(f) \)。

动手试一试：

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2. 区间与邻域

区间是函数中最为常用的一类定义域。设 \( \mathbb{R} \)（表示实数集），且 \( a < b \)。称数集 \( (a, b) \) 为开区间，记为 \( (a, b) \)；称数集 \( [a, b] \) 为闭区间，记为 \( [a, b] \)；称数集 \( (a, b] \) 为左开右闭区间，记为 \( (a, b] \)，和称数集 \( [a, b) \) 为左闭右开区间，记为 \( [a, b) \)。\( (a, b) \) 和 \( [a, b] \) 统称为半开半闭区间。以上这些区间统称为有限区间，称 \( b - a \) 为区间的长度。

此外，\( (a, +\infty) \)；\( (-\infty, b) \)；\( (-\infty, +\infty) \)统称为无限区间（或称无穷区间）。有限区间和无限区间统称为区间。

高等数学中常用的与区间有关的概念就是邻域。

所谓邻域就是指：对于任意的正数 \( \epsilon \)，开区间 \( (x - \epsilon, x + \epsilon) \) 称为点 \( x \) 的邻域，\( x \) 称为邻域的中心，\( \epsilon \) 称为邻域的半径，记作 \( N(x, \epsilon) \)，即

在 \( N(x, \epsilon) \) 中去掉邻域中心 \( x \) 后的集合，称为点 \( x \) 的去心邻域。记作 \( N(x, \epsilon) \setminus \{x\} \)，即

称开区间 \( (x - \epsilon, x) \) 为 \( x \) 的左邻域，开区间 \( (x, x + \epsilon) \) 为 \( x \) 的右邻域。

3. 函数的图形

设函数 \( y = f(x) \) 是定义在 \( D \) 上的函数，在平面上取定直角坐标系后，对每个 \( x \in D \)，可确定平面上一点 \( (x, f(x)) \)，点集 \( \{ (x, f(x)) \ | \ x \in D \} \) 画出平面上一条曲线，该曲线称为函数的图形。

函数的常用表示方法：表格法、图像法、解析法（或公式法）。

例1 符号函数

其定义域 \( \mathbb{R} \)，值域 \( \{-1, 0, 1\} \)。

例2 绝对值函数

其定义域 \( \mathbb{R} \)，值域 \( [0, +\infty) \)。

例3 取整函数

其中 \( \lfloor x \rfloor \) 表示不超过 \( x \) 的最大整数，即

其定义域 \( \mathbb{R} \)，值域 \( \mathbb{Z} \)。

例4 整标函数

整标函数也记为 \( E(x) \)。由此得到一列有次序的数叫做数列，记为 \( \{ a_n \} \) 或 \( a_1, a_2, \ldots \)，其中第 \( n \) 项 \( a_n \) 叫做数列的通项或一般项。例如：

4. 函数的四则运算

设函数 \( f \) 和 \( g \) 的定义域依次为 \( D_f \) 和 \( D_g \)。若 \( D_f \cap D_g \neq \emptyset \)，则定义这两个函数的下列运算:

• 和（差）: \( f(x) \pm g(x) \);
• 积: \( f(x) \cdot g(x) \);
• 商: \( \frac{f(x)}{g(x)} \)，其中 \( g(x) \neq 0 \)。

二、反函数与复合函数

1. 反函数

在函数关系中，研究的是因变量随着自变量变化而变化的情况。有时候需要反过来考虑，研究\( y \)随着\( x \)变化而变化的情况。

🧑‍💻定义2 设函数\( f \)的定义域为\( D \)、值域为\( R \)。如果对于\( R \)中任一\( y \)，在\( D \)中必有唯一的\( x \)使得\( f(x) = y \)，所确定的函数关系称为\( f \)的反函数，记为\( f^{-1} \)。相对于反函数来说，原来的函数称为直接函数。此时，常常记函数的反函数为。

探究反函数

例6 函数\( y = \sin x \)在\( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)上，存在反函数：

对任意\( y \in [-1, 1] \)，存在唯一\( x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)与之对应，称为反正弦函数，记为：

\[ x = \arcsin y. \]

其图形与\( y = \sin x \)，关于直线\( y = x \)对称。

同样，还是有下面几个反三角函数：

• 反余弦函数：\( x = \arccos y \)，\( y = \cos x \)；
• 反正切函数：\( x = \arctan y \)，\( y = \tan x \)；
• 反余切函数：\( x = \text{arccot} y \)，\( y = \cot x \)。

例7 求 \( f(x) = 2x + 1 \) 的反函数。
例8 求 \( f(x) = x^3 \) 的反函数。

2. 复合函数

定义3 设函数 \( u = f(x) \) 的定义域为 \( D \)，函数 \( y = g(u) \) 在 \( u \) 上有定义，且值域为 \( R \)，则在 \( D \) 上确定的函数 \( y = g(f(x)) \) 称为由函数 \( g \) 与函数 \( f \) 的复合函数，记为 \( y = (g \circ f)(x) \)，即 \( y = g(f(x)) \)。它的定义域为 \(\{ x \in D \ | \ f(x) \in R \}\)，其中 \( g \) 称为外函数，\( f \) 为内函数，\( u \) 称为中间变量。

例9 函数 \( y = \sin(2x) \) 与 \( y = 2x \) 的复合函数为 \( y = \sin(2x) \)，其定义域为 \( \mathbb{R} \)，它与 \( y = \sin x \) 的定义域完全相同。
例10 函数 \( y = \ln(1 + x^2) \) 与 \( y = 1 + x^2 \) 的复合函数为 \( y = \ln(1 + x^2) \)，其定义域为 \( \mathbb{R} \)，它与 \( y = \ln x \) 的定义域不同，是后者的一部分。
例11 函数 \( y = \sqrt{1 - x^2} \) 与 \( y = x^3 \) 无法复合，因为 \( x^3 \) 的值域在函数 \( \sqrt{1 - x^2} \) 的定义域之外。

三、函数的几种性质

1. 单调性

单调增加：如果对于区间 \( I \) 上任取的两个值 \( x_1, x_2 \)，且 \( x_1 < x_2 \) 时，若 \( f(x_1) \leq f(x_2) \) 恒成立，则称函数 \( f \) 在区间 \( I \) 上单调增加。

单调减少：如果对于区间 \( I \) 上任取的两个值 \( x_1, x_2 \)，且 \( x_1 < x_2 \) 时，若 \( f(x_1) \geq f(x_2) \) 恒成立，则称函数 \( f \) 在区间 \( I \) 上单调减少。

2. 奇偶性

设函数 \( f(x) \) 的定义域是关于原点对称的，如果对于任一 \( x \in D \)，有 \( f(-x) = f(x) \) 恒成立，则称 \( f(x) \) 为偶函数；如果对于任一 \( x \in D \)，有 \( f(-x) = -f(x) \) 恒成立，则称 \( f(x) \) 为奇函数。

例12 设 \( f(x) \) 是定义在 \( (-\infty, +\infty) \) 上的函数，证明：\( f(x) \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

3. 有界性

若存在数 \( M \)，使得任一 \( x \in D \)，都有 \( |f(x)| \leq M \)，则称数集 \( D \) 为有界集。否则称为无界集。

上界：若存在常数 \( M \)，对区间 \( I \) 的任一点 \( x \)，都有 \( f(x) \leq M \) 成立，则称 \( M \) 为 \( f \) 在区间 \( I \) 上的一个上界；从图形上来看，此时曲线在直线 \( y = M \) 的下方。

下界：若存在常数 \( N \)，对区间 \( I \) 的任一点 \( x \)，都有 \( f(x) \) 满足 \( f(x) \geq N \)，则称 \( N \) 为 \( f \) 在区间 \( I \) 上的一个下界；从图形上来看，此时曲线在直线 \( y = N \) 的上方。

有界：称 \( f \) 在区间 \( I \) 上既有上界又有下界的函数在 \( I \) 上有界（或在 \( I \) 上是有界函数），否则称 \( f \) 在 \( I \) 上无界（或在 \( I \) 上是无界函数）。

4. 周期性

设函数 \( f(x) \) 的定义域为 \( D \)，若存在正数 \( T \)，使得对于任一 \( x \in D \)，有 \( f(x + T) = f(x) \) 恒成立，则称 \( f(x) \) 为周期函数，\( T \) 为 \( f(x) \) 的周期，满足上述关系的最小正数 \( T \) 称为 \( f(x) \) 的最小正周期，通常称周期函数的周期就是指最小正周期。

四、初等函数

1.基本初等函数

现将在中学里已经学习过的几种函数汇列于下：

• 常数函数：\( f(x) = c \)（\( c \) 为常数）
• 幂函数：\( f(x) = x^n \)（\( n \) 为常数）
• 指数函数：\( f(x) = a^x \)
• 对数函数：\( f(x) = \log_a x \)
• 三角函数：\( f(x) = \sin x, \cos x, \tan x \) 都是周期函数，并且其中 \( \sin x, \tan x \) 都是奇函数，而 \( \cos x \) 是偶函数。
• 反三角函数：\( f(x) = \arcsin x, \arccos x, \arctan x \)。

以上几类函数是研究函数的基础，称为基本初等函数。

2.初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所得到的并且能用一个式子表示的函数称为初等函数。

1).双曲函数

在工程技术中常用到一类被称为双曲函数的初等函数，它们定义如下：

• 双曲正弦：\( \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \)，定义域为 \( \mathbb{R} \)，值域为 \( \mathbb{R} \)；
• 双曲余弦：\( \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)，定义域为 \( \mathbb{R} \)，值域为 \( [1, +\infty) \)；
• 双曲正切：\( \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \)，定义域为 \( \mathbb{R} \)，值域为 \( (-1, 1) \)。

2).初等函数应用

先熟悉下面的几个函数。

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练习

计算 \(\tanh(0)\)。