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极限的思想是近代数学的一种重要思想，是探究某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子·天下篇》一书中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想。
关键词：数列极限的定义、数列极限的唯一性、有界性、保号性
一 数列极限的概念
引例 “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
这样剩下棒子的长度就成了一个数列，其通项为 $$ a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n. $$ 容易看出，当\(n\)无限增大，棒长无限接近于一个确定的常数零。我们把这个确定的常数零，称为数列当\(n\)趋向于无穷时的极限。 一般地，如果“随着\(n\}的无限增大，通项\{a_n\)无限地接近某一常数\(A\)”，则称常数\(A\)为数列的极限。 <br> 如何准确地刻划极限的概念呢？我们知道数与数的接近程度可以通过这两个数差的绝对值来刻画。这就是说，当\(n$充分大时，数列的通项\(a_n\)与常数\(A\)之差的绝对值可以任意的小。任意小性是无法用一个具体的很小很小的数来刻画的。为此，引入希腊字母\(\epsilon\)来刻画任一小的正数。<br> <strong>定义1</strong>（定义） 设\(\{ a_n \}\)为一数列，如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正整数$$N$$，使得当$n > N$时，有 $$ |a_n - A| < \epsilon, $$ 则称常数\(A\)为数列\(\{ a_n \}\)的极限，或称数列$$\{ a_n \}$$收敛于$A$，记作 $$ \lim_{{n \to \infty}} a_n = A, $$ 或 $$ a_n \to A \quad (n \to \infty). $$ 否则称数列\(\{ a_n \}\)没有极限，或者说数列\(\{ a_n \}\)是发散的。 这里引入两个常用的数学符号：“\(\forall\)”表示任意的；“$\exists$”表示存在。由此， $$ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon. $$ #### 例1 证明\(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\)。 证明：任给\(\epsilon > 0\)，为了使\(| \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon\)，即 $$ \frac{1}{n} < \epsilon, $$ 所以存在正整数$N\)，当$n > N\)时，有 $$ n > \frac{1}{\epsilon}. $$ 因此， $$ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon. $$ 即 $$ \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0. $$ #### 例2 证明$\lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1\)。 证明：任给\(\epsilon > 0$，为了使$| \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon\)，即 $$ \left| 1 + \frac{1}{n} - 1 \right| < \epsilon, $$ 即 $$ \frac{1}{n} < \epsilon, $$ 所以存在正整数$N\)，当\(n > N$时，有 $$ n > \frac{1}{\epsilon}. $$ 因此， $$ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, | \frac{n+1}{n} - 1 | < \epsilon. $$ 即 $$ \lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1. $$ #### 例3 证明$\lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2\)。 证明：\(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon\)， 即 $$ \left| 2 + \frac{1}{n} - 2 \right| < \epsilon, $$ 即 $$ \frac{1}{n} < \epsilon. $$ 存在正整数\(N\)，当\(n > N$时，有 $$ n > \frac{1}{\epsilon}. $$ 所以 $$ \forall \epsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil, \forall n > N, \left| \frac{2n+1}{n} - 2 \right| < \epsilon. $$ 即 $$ \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n+1}{n} = 2. $$ ### 二 收敛数列的性质 #### 定理1 （极限的唯一性） 收敛数列的极限是唯一的。 证明（用反证法）：设\(\{ a_n \}$收敛于$A$，且收敛于$B$，不妨设$A < B$。取 $$ \epsilon = \frac{B - A}{2}. $$ 由于$\{ a_n \}$收敛于$A$，存在正整数$N_1$，当$n > N_1$时，有 $$ |a_n - A| < \epsilon, $$ 即 $$ A - \epsilon < a_n < A + \epsilon, $$ 即 $$ A - \frac{B - A}{2} < a_n < A + \frac{B - A}{2}, $$ 即 $$ A < a_n < \frac{A + B}{2}. $$ 由于$\{ a_n \}$收敛于$B$，存在正整数$N_2$，当$n > N_2$时，有 $$ |a_n - B| < \epsilon, $$ 即 $$ B - \epsilon < a_n < B + \epsilon, $$ 即 $$ B - \frac{B - A}{2} < a_n < B + \frac{B - A}{2}, $$ 即 $$ \frac{A + B}{2} < a_n < B. $$ 取$N = \max(N_1, N_2)$，当$n > N$时，有 $$ A < a_n < \frac{A + B}{2} < a_n < B. $$ 矛盾，所以 $$ A = B. $$ #### 定理2（有界性） 收敛数列必定有界。 证明：设$\{ a_n \}$收敛于$A$，则对$\epsilon = 1$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有 $$ |a_n - A| < 1, $$ 即 $$ A - 1 < a_n < A + 1. $$ 取$M = \max \{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_N|, |A - 1|, |A + 1|\}$，则对于一切$n \in \mathbb{N}$，都有 $$ |a_n| \leq M. $$ 故收敛数列有界。 反之未必：有界数列不一定收敛。 #### 推论 若数列无界，则必发散。 #### 定理3（保号性） 若数列$\{ a_n \}$收敛于$A$，且$A \ne 0$，则存在正整数$N$，当$n > N$时，$a_n$与$A$同号。 证明：不妨设$A > 0$，由$\{ a_n \}\)收敛于$A$，按照定义 $$ \forall \epsilon = \frac{A}{2}, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |a_n - A| < \epsilon, $$ 即 $$ -\frac{A}{2} < a_n - A < \frac{A}{2}, $$ 即 $$ A - \frac{A}{2} < a_n < A + \frac{A}{2}, $$ 即 $$ \frac{A}{2} < a_n < \frac{3A}{2}. $$ 即当$n > N$时，$a_n$与$A$同号。 #### 推论 若数列\(\{ a_n \}\)从某项起有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），且\(\lim_{{n \to \infty}} a_n = \)$，那么$A \geq 0$（或$A \leq 0$）。