解释：

这个定义描述了数列 \(\\{a_n\\}\) 收敛到极限 L 的含义。它表示当 n 足够大时，数列的项与极限值的差的绝对值可以任意小。

知识点：

• ε-N 语言：用于精确描述极限的数学语言
• 数列收敛的直观理解：数列的项无限接近某个固定值
• 绝对值：|a_n - L| 表示 a_n 与 L 之间的距离

解答过程：

1. 分子和分母都除以 n^2（最高次项）： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2/n^2 + 3n/n^2 + 2/n^2}{2n^2/n^2 + 1/n^2} \]
2. 化简： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3/n + 2/n^2}{2 + 1/n^2} \]
3. 当 n 趋向无穷时，1/n 和 1/n^2 趋向于 0： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \]

知识点：

• 极限的计算技巧：分子分母同除以最高次项
• 无穷大与无穷小的关系：当 n 趋向无穷时，1/n 和 1/n^2 趋向于 0
• 有理函数的极限：分子分母的最高次项决定极限值

解释：

1. 这是一个交错数列，可以写成 \((-1)^n \cdot \frac{1}{n}\)
2. 应用莱布尼茨判别法：
   • \(\frac{1}{n}\) 单调递减且趋向于 0
   • 符号在正负间交替变化
3. 因此，该数列收敛

知识点：

• 交错数列：正负项交替出现的数列
• 莱布尼茨判别法：判断交错级数收敛性的重要方法
• 绝对收敛与条件收敛：该数列是条件收敛的

解答过程：

1. 利用不等式：-1 ≤ sin n ≤ 1
2. 两边同除以 n（n > 0）：-1/n ≤ sin n / n ≤ 1/n
3. 当 n 趋向无穷时，-1/n 和 1/n 都趋向于 0
4. 根据夹逼准则，sin n / n 也必须趋向于 0

知识点：

• 夹逼准则：如果对于足够大的 n，g ≤ f ≤ h，且 lim g = lim h = L，则 lim f = L
• 三角函数的性质：sin n 的值域为 [-1, 1]
• 无穷小量：1/n 是比 sin n 更快趋于 0 的无穷小量

解答过程：

1. 观察到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1\)
2. 设 \(x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{n^2}{n^2 + 1}\)，则当 n → ∞ 时，x → \(\frac{\pi}{2}\)
3. 原式可以改写为：\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(\frac{2}{\pi}x)^2}\)
4. 应用洛必达法则： \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\frac{4}{\pi^2}x} = \frac{\pi^2}{4} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x} = \frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{0}{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \]

知识点：

• 等价无穷小代换：\(\sin x \sim x\)（当 x → 0 时）
• 复合函数的极限：内层函数的极限决定外层函数的极限
• 洛必达法则：适用于 0/0 型和 ∞/∞ 型的极限
• 三角函数的极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

解答过程：

1. 设初始高度为 h = 10 米，弹起系数为 r = 0.8
2. 第 n 次落地后的总距离：S_n = h(1 + r + r^2 + ... + r^(n-1)) * 2 - h
3. 当 n 趋向无穷时，括号内是一个等比数列的和：\(\frac{1-r^n}{1-r}\)
4. 极限情况下，r^n → 0，所以总距离的极限为： \[ S = \lim_{n \to \infty} S_n = h \cdot \frac{1}{1-r} \cdot 2 - h = 10 \cdot \frac{1}{1-0.8} \cdot 2 - 10 = 90 \]

知识点：

• 无穷等比级数：当 |r| < 1 时，\(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}\)
• 极限的实际应用：物理问题中的无穷过程
• 几何级数：描述具有固定比率的重复过程