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定义学习
1. 数列极限概念
1.6. 交互
数列极限的定义及讲解
数列极限的定义及讲解
一个数列的极限是指，当数列的项数 \(n\) 越来越大时，数列的值逐渐接近一个确定的数值，这个确定的数值被称为数列的极限。
如果这样的极限存在，我们称数列收敛于这个极限，否则称数列发散。
假设有一个数列，其通项公式为：
\( a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n \)
随着 \(n\) 的增大，数列的项越来越小，并趋向于0。记作：
\( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0 \)
数列极限的定义 (ε-N定义)
对于数列 \( \{x_n\} \)，如果存在一个常数 \( a \)，并且对于任意给定的正数 \( \epsilon > 0 \)，都存在一个正整数 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，总有：
\( |x_n - a| < \epsilon \)
则称常数 \( a \) 为数列的极限，记作：
\( \lim_{n \to \infty} x_n = a \)
练习题
请判断以下数列是否有极限，如果有，请给出极限值：
- \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} \)
- \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3}{2n^2 + 1} \)
答案：
- \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \)
- \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3}{2n^2 + 1} = \frac{1}{2} \)