1.2 函数极限的概念
本节课程时长：50分钟
知识图谱
函数极限的概念
极限的定义
ε-δ语言
几何意义
函数图像
左右极限
单侧极限
存在条件
充要条件
重要极限
基本极限
应用场景
实际应用
知识点
典型例题
常见问题
数字教材
常用数学符号
极限符号
极限：$\lim\limits_{x \to x_0}$
左极限：$\lim\limits_{x \to x_0^-}$
右极限：$\lim\limits_{x \to x_0^+}$
趋向无穷：$\lim\limits_{x \to \infty}$
不等式符号
小于等于：$\leq$
大于等于：$\geq$
不等于：$\neq$
约等于：$\approx$
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1.2 函数极限的概念
函数极限是微积分的核心概念之一，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的趋势。本节将详细介绍函数极限的概念、定义及其几何意义。
1. 函数极限的直观理解
设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个去心邻域内有定义。如果当 x 无限接近于 x₀（但不等于 x₀）时，函数值 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x→x₀ 时的极限，记作 lim(x→x₀)f(x) = A。
函数极限的ε-δ定义：
lim(x→x₀)f(x) = A ⟺ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < |x-x₀| < δ 时, |f(x)-A| < ε
这表示：对于任意给定的正数ε，总能找到一个正数δ，使得当 x 与 x₀ 的距离小于δ（但不等于 x₀）时，函数值 f(x) 与 A 的距离小于ε。
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知识要点
- 函数极限的定义：$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当} 0 < |x-x_0| < \delta \text{时}, |f(x)-A| < \varepsilon$
- 函数极限的三种情况： - 当 $x \to x_0$ 时的极限（$x_0$ 为有限值） - 当 $x \to \infty$ 时的极限（自变量趋于无穷大） - 当 $x \to x_0$ 时函数值趋于无穷大（函数在 $x_0$ 处的无穷大极限）
- 函数极限存在的充要条件： - 左极限等于右极限：$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = A$
- 函数极限的性质： - 唯一性：如果极限存在，则极限值唯一 - 局部有界性：如果极限存在，则函数在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有界 - 局部保号性：如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时，$f(x) > 0$
- 函数极限与数列极限的关系： - 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A$，则对于任何以 $x_0$ 为极限的数列 ${x_n}$（$x_n \neq x_0$），都有 $\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = A$
练习题
1. 计算极限：lim(x→0)(sin x)/x
2. 函数 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限是多少？