1.5 函数的连续性
本节课程时长：40分钟
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1.5 函数的连续性
函数的连续性是微积分中的核心概念之一，它描述了函数图像的"不间断"特性。本节将详细介绍函数连续性的定义、性质及其在数学分析中的重要应用。
1. 函数连续性的定义
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
函数在一点连续的充要条件：
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 $\iff$ 以下三个条件同时成立：
- $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义，即 $f(x_0)$ 存在
- $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在
- $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$
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知识要点
- 函数连续性的定义：如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续
- 左连续与右连续： - 左连续：$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0)$ - 右连续：$\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = f(x_0)$ - 函数在一点连续 $\iff$ 函数在该点既左连续又右连续
- 区间连续性： - 函数在开区间 $(a,b)$ 内连续：函数在 $(a,b)$ 内每一点都连续 - 函数在闭区间 $[a,b]$ 上连续：函数在 $(a,b)$ 内连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续
- 连续函数的性质： - 四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数 - 复合函数：若 $f(u)$ 在点 $u_0$ 处连续，$u=g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，且 $g(x_0)=u_0$，则复合函数 $f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 处连续
- 初等函数的连续性：所有初等函数在其定义域内都是连续的
- 闭区间上连续函数的性质： - 有界性定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界 - 最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上必取得最大值和最小值 - 介值定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意值 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = C$
练习题
1. 判断函数 $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ 在点 $x=2$ 处是否连续？
2. 函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ 在点 $x=0$ 处是否连续？
3. 根据介值定理，下列说法正确的是：