1.3 函数极限的性质
本节课程时长：45分钟
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1.3 函数极限的性质
函数极限具有许多重要的性质，这些性质为我们计算和应用函数极限提供了理论基础。本节将详细介绍函数极限的四则运算法则、单调有界准则、夹逼定理等重要性质。
1. 函数极限的四则运算法则
设函数 f(x) 和 g(x) 在点 x₀ 的某个去心邻域内有定义，且 \(\lim_{x \to x_0}f(x) = A\)，\(\lim_{x \to x_0}g(x) = B\)，则：
加法法则：
\[\lim_{x \to x_0}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to x_0}f(x) + \lim_{x \to x_0}g(x) = A + B\]
减法法则：
\[\lim_{x \to x_0}[f(x) - g(x)] = \lim_{x \to x_0}f(x) - \lim_{x \to x_0}g(x) = A - B\]
乘法法则：
\[\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0}f(x) \cdot \lim_{x \to x_0}g(x) = A \cdot B\]
除法法则：
\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0}f(x)}{\lim_{x \to x_0}g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)\]
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知识要点
- 函数极限的基本性质： - 唯一性：如果极限存在，则极限值唯一 - 局部有界性：如果极限存在，则函数在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有界 - 局部保号性：如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时，$f(x) > 0$
- 函数极限的四则运算法则： - 和差法则：$\lim\limits_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = \lim\limits_{x \to x_0}f(x) \pm \lim\limits_{x \to x_0}g(x)$ - 乘法法则：$\lim\limits_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = \lim\limits_{x \to x_0}f(x) \cdot \lim\limits_{x \to x_0}g(x)$ - 除法法则：$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x \to x_0}g(x)}$，其中 $\lim\limits_{x \to x_0}g(x) \neq 0$
- 复合函数的极限： - 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = A$，且函数 $f(x)$ 在点 $A$ 处连续，则 $\lim\limits_{x \to x_0}f(g(x)) = f(A)$
- 夹逼定理（三明治定理）： - 如果在点 $x_0$ 的某个去心邻域内，$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = \lim\limits_{x \to x_0}h(x) = A$，则 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A$
- 单调有界准则： - 如果函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 上单调递增且有上界，则 $\lim\limits_{x \to b^-}f(x)$ 存在 - 如果函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 上单调递减且有下界，则 $\lim\limits_{x \to b^-}f(x)$ 存在
练习题
1. 已知 $\lim\limits_{x \to 1}f(x) = 2$ 且 $\lim\limits_{x \to 1}g(x) = 3$，求 $\lim\limits_{x \to 1}[2f(x) - g(x)]$
2. 使用夹逼定理证明：$\lim\limits_{x \to 0}x^2\sin\frac{1}{x} = 0$
3. 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的极限为 $A$，$g(x)$ 在 $x=a$ 处的极限为 $B$，且 $A < B$。则下列说法正确的是：