1.4 无穷小与无穷大
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1.4 无穷小与无穷大
无穷小与无穷大是微积分中的重要概念，它们与极限理论密切相关，是研究函数行为的基础工具。本节将详细介绍无穷小与无穷大的概念、性质及其应用。
1. 无穷小的定义与基本性质
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0$，则称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ 时的无穷小量。
无穷小的判定：
函数 $f(x)$ 是当 $x \to x_0$ 时的无穷小量 $\iff \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0$
同样地，函数 $f(x)$ 是当 $x \to \infty$ 时的无穷小量 $\iff \lim\limits_{x \to \infty}f(x) = 0$
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知识要点
- 无穷小的定义：如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ 时的无穷小量
- 无穷大的定义：如果当 $x \to x_0$ 时，$|f(x)|$ 的值随着 $x$ 无限接近 $x_0$ 而增大到超过任何预先给定的正数，则称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ 时的无穷大量
- 无穷小的性质： - 有限个无穷小的和是无穷小 - 有限个无穷小的积是无穷小 - 有界函数与无穷小的积是无穷小
- 无穷小的比较： - 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称 $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小，记作 $\alpha(x) = o(\beta(x))$ - 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0$，则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小，记作 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ - 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是等价无穷小，记作 $\alpha(x) \thicksim \beta(x)$
- 无穷大与无穷小的关系： - 如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小 - 如果 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大
练习题
1. 判断下列函数中哪些是当 $x \to 0$ 时的无穷小量？
2. 当 $x \to 0$ 时，$\sin x$ 与下列哪个无穷小是等价的？
3. 判断函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 在什么情况下是无穷大量？