1.6 间断点及其分类
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1.6 间断点及其分类
函数的间断点是研究函数连续性的重要内容。当函数在某点不连续时，我们称该点为函数的间断点。本节将详细介绍间断点的定义及其分类。
1. 间断点的定义
设函数 f(x) 在点 x₀ 的某邻域内有定义（但在点 x₀ 处可以没有定义），如果函数 f(x) 在点 x₀ 处不连续，则称点 x₀ 为函数 f(x) 的间断点。
函数在点 x₀ 处不连续的条件（以下三种情况之一）：
① f(x₀) 没有定义
② f(x₀) 有定义，但 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 不存在
③ f(x₀) 有定义，$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$
交互式图表
函数图像解析
上图展示了第一类间断点的典型情况：
- 可去间断点：函数在该点的左右极限存在且相等，但函数值与极限不相等或函数在该点无定义
- 跳跃间断点：函数在该点的左右极限都存在但不相等
可以通过上方按钮切换查看不同类型的间断点图像。
知识要点
1. 间断点的分类
间断点主要分为两大类：第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点（左右极限都存在）：
- 可去间断点：$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)$，但 $f(x_0)$ 不等于此极限或 $f(x_0)$ 无定义
- 跳跃间断点：$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)$ 都存在但不相等
第二类间断点（至少有一个单侧极限不存在）：
- 无穷间断点：至少有一个单侧极限为无穷大
- 振荡间断点：函数在该点附近无限振荡，极限不存在
- 其他类型：如左右极限都不存在的情况
2. 判断间断点类型的步骤
- 检查函数在该点是否有定义
- 计算函数在该点的左极限 $\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$
- 计算函数在该点的右极限 $\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)$
- 判断左右极限是否存在且相等
- 若函数在该点有定义，比较函数值与极限值
3. 常见函数的间断点
① 有理函数 $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 的间断点：$Q(x) = 0$ 且 $P(x) \neq 0$ 的点
② 无理函数的间断点：根号下表达式小于零的点
③ 对数函数的间断点：对数的真数小于等于零的点
④ 三角函数的间断点：如 $\tan x$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处的间断点
⑤ 分段函数的间断点：通常在分段点处需要检查连续性
4. 间断点的应用
间断点在数学和物理中有重要应用：
- 物理学中描述相变现象
- 信号处理中的不连续信号分析
- 经济学中的突变模型
- 微分方程解的存在性和唯一性分析
例题分析
例题1：判断函数的间断点类型
判断函数 $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ 在 $x = 2$ 处的间断点类型。
解析：
① 当 $x = 2$ 时，函数 $f(x)$ 的分母为零，函数在该点无定义。
② 计算 $x \to 2$ 时的极限：
$\lim\limits_{x \to 2}f(x) = \lim\limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2}(x+2) = 4$
③ 由于极限存在，但函数在 $x = 2$ 处无定义，所以 $x = 2$ 是函数的可去间断点。
④ 可以通过定义新函数来消除这个间断点：
$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2 \\ 4, & x = 2 \end{cases}$
这样定义的新函数 $g(x)$ 在 $x = 2$ 处连续。
例题2：分析函数的间断点
分析函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。
解析：
① 函数在 $x = 0$ 处的定义值为 $f(0) = 2$。
② 计算 $x \to 0$ 时的极限：
$\lim\limits_{x \to 0}f(x) = \lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$
③ 由于 $\lim\limits_{x \to 0}f(x) = 1 \neq f(0) = 2$，所以函数在 $x = 0$ 处不连续。
④ 因为极限存在但不等于函数值，所以 $x = 0$ 是函数的可去间断点。
⑤ 如果将函数值修改为 $f(0) = 1$，则函数在 $x = 0$ 处连续。
例题3：判断跳跃间断点
判断函数 $f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。
解析：
① 函数在 $x = 0$ 处的定义值为 $f(0) = 0^2 = 0$。
② 计算左极限：$\lim\limits_{x \to 0^-}f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-}(x+1) = 0+1 = 1$
③ 计算右极限：$\lim\limits_{x \to 0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+}x^2 = 0$
④ 由于左右极限不相等，所以函数在 $x = 0$ 处不连续。
⑤ 因为左右极限都存在但不相等，所以 $x = 0$ 是函数的跳跃间断点。
⑥ 跳跃间断点的跳跃值为左极限减右极限：$1 - 0 = 1$。
练习题
1. 函数 $f(x) = \frac{x^3-8}{x-2}$ 在 $x = 2$ 处的间断点类型是：
2. 函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续，则 $k$ 的值为：
3. 函数 $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ 在 $x = 1$ 处的间断点类型是：
4. 函数 $f(x) = \begin{cases} \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型是：