导数的基本概念
📝 导数的定义
\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}}\]
瞬时变化率
导数表示函数在某一点的瞬时变化率，它描述了函数值随自变量变化的快慢程度。
\[\text{平均变化率} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\]
\[\text{瞬时变化率} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)\]
实际应用
- 速度是位移对时间的导数
- 加速度是速度对时间的导数
- 成本变化率是成本对产量的导数
可导与连续的关系
可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。
\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}}\]
可导函数的连续性
如果函数在某一点处可导，则该函数在该点连续。
\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}}\]
📖 函数可导与连续关系学习
切线的几何意义
导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率
\[\text{切线斜率} = \tan \alpha = f'(x_0)\]
导数的计算
导数的应用
几何应用
物理应用
经济学应用
信息安全应用